Université de Caen 2006-2007 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques EMA 43

Partiel n^{o} 3

lundi 19 mars 2007 Chaque candidat doit en début d’épreuve porter son nom dans le coin de la copie qu’il cachera par collage après la signature de la feuille d’émargement. Il devra en outre porter son numéro de place sur chacune de ses copies ou intercalaires.

durée : 2 heures Aucun document, aucune calculatrice ne sont autorisés.

Exercice 1. On considère la matrice suivante : A = ( \begin{matrix}3 & 2 & 1 \\ −4 & −3 & −2 \\ 6 & 6 & 4 \end{matrix} ).

1. Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A.

2. Montrer que A est diagonalisable, sans rechercher de base de vecteurs propres. Soit P la matrice de changement de base de la base canonique vers une base de vecteurs propres de A. On ne cherchera pas à calculer P.

3. Donner une formule pour A^{n} en fonction de P et d’une matrice diagonale à préciser. On note Tr(M) la trace d’une matrice carrée M. Rappelons qu’on a Tr(MN) = Tr(NM) pour toutes matrices carrées M, N.

4. Calculer Tr(A^{n}) pour tout n, à l’aide des question précédentes.

Exercice 2. On considère les formes linéaires sur ℝ^{3} définies par les égalités suivantes :

φ_{1}(x, y, z) = y − z, φ_{2}(x, y, z) = −x − y + z, φ_{2}(x, y, z) = x + y.

Montrer que C = (φ_{1}, φ_{2}, φ_{3}) est une base de (ℝ^{3})^{∗}. Déterminer la base B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) de ℝ^{3} dont C est la base duale.

Exercice 3. On munit le plan ℝ^{2} de la distance euclidienne d_{2}. Pour tout n ∈ ℕ on considère le sous-ensemble H_{n} ⊂ ℝ^{2} défini comme suit : H_{n} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y > nx}.

1. On fixe n. Montrer que H_{n} est ouvert, par deux méthodes différentes.

2. On considère Q = ⋂_{n∈ℕ} H_{n}.

a. Montrer que Q = ℝ_{−} × ℝ_{+}^{∗}.

b. Montrer que Q n’est ni ouvert ni fermé.

Exercice 4. Soit d_{2} la distance euclidienne dans ℝ^{2}, et O = (0, 0) l’origine. Pour P, Q ∈ ℝ^{2} on note

d(P, Q) = \{ \begin{matrix}d_{2}(P, Q) & si O, P et Q sont alignés \\ d_{2}(P, O) + d_{2}(O, Q) & sinon. \end{matrix}

1. En admettant que d est une distance, représenter les boules ouvertes B_{d}((0, 0), 1), B_{d}((2, 0), 1), B_{d}((2, 0), 3) relatives à d.

2. Montrer que d est une distance.

Pour l’inégalité triangulaire entre P, Q et R on traitera deux cas parmi les suivants : a. les droites (OP), (OQ) et (OR) sont confondues ; b. elles sont deux-à-deux distinctes ; c. (OP) et (OQ) sont confondues, mais pas avec (OR) ; d. (OP) et (OR) sont confondues, mais pas avec (OQ).