Université de Caen 2006-2007 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques EMA 43

Partiel n^{o} 5

lundi 30 avril 2007

Chaque candidat doit en début d’épreuve porter son nom dans le coin de la copie qu’il cachera par collage après la signature de la feuille d’émargement. Il devra en outre porter son numéro de place sur chacune de ses copies ou intercalaires.

durée : 2 heures Aucun document, aucune calculatrice ne sont autorisés.

Exercice 1. Pour tout nombre réel a on considère la forme quadratique q_{a} : ℝ^{3} → ℝ définie par

q_{a}(x, y, z) = a(x^{2} + y^{2}) + 2z^{2} − 2xy − 2xz + 2yz.

1. On se place dans le cas a = 1.

a. Montrer que q_{1} est positive mais pas définie-positive. b. Montrer que q_{1}(x, y, z) ≥ z^{2} pour tout (x, y, z) ∈ ℝ^{3}. c. Trouver un vecteur v = (x, y, z) non nul tel que q_{1}(x, y, z) = 0.

2. On reprend le cas général.

a. En utilisant la question 1b, montrer que q_{a} est définie-positive lorsque a > 1.

b. Calculer q_{a}(v) pour tout a, où v est le vecteur trouvé à la question 1c.

c. Pour quelles valeurs du paramètre a ∈ ℝ la forme quadratique q_{a} est-elle définie-positive ?

3. On se place dans le cas a = 2.

La forme quadratique q_{2} est définie-positive, on munit ℝ^{3} du produit scalaire associé.

a. Donner l’expression du produit scalaire u · u′ pour u = (x, y, z) et u′ = (x′, y′, z′) ∈ ℝ^{3}. On note (e_{1}, e_{2}, e_{3}) la base canonique de ℝ^{3}, et P l’orthogonal de e_{3}.

b. Écrire l’équation de P. Donner une base de P. c. Déterminer une base orthonormale de P. d. Déterminer le projeté orthogonal de e_{1} sur P.

Exercice 2. Soit E = ℝ_{+}^{∗} × ℝ_{+}^{∗} et f : E → ℝ une fonction de classe C^{1}. On définit une fonction g : E → ℝ en posant

g(x, y) = f(u, v), avec u = xy et v = \frac{y}{x}.

1. Montrer que g est de classe C^{1}.

2. Calculer les dérivées partielles de g en fonction de celles de f.

3. On fixe (x, y) ∈ E^{2}. Montrer qu’on a x\frac{∂g}{∂x}(x, y) = y \frac{∂g}{∂y} (x, y) si et seulement si \frac{∂f}{∂v} (xy, \frac{y}{x}) = 0.

Exercice 3. Pour tout réel strictement positif α on considère la fonction f_{α} : ℝ^{2} → ℝ définie comme suit :

f_{α}(x, y) = |xy|^{α} pour (x, y) ≠ (0, 0), et f(0, 0) = 0.

Notons par ailleurs h_{α} : ℝ → ℝ la fonction donnée par h_{α}(t) = |t|^{α} pour t ≠ 0 et h_{α}(0) = 0. On rappelle que h_{α} est dérivable en 0 si et seulement si α > 1.

1. On fixe α > 0. La fonction h_{α} est-elle continue en 0 ? La fonction f_{α} est-elle continue en (0, 0) ? Justifier.

2. Montrer que f_{α} admet des dérivées partielles par rapport à x et y en (0, 0), pour tout α > 0. Calculer ces dérivées partielles.

3. On suppose que α > 1. Montrer que f_{α} est différentiable en (0, 0), sans revenir à la définition.

4. On suppose que α > \frac{1}{2}. Montrer grâce à la définition que f_{α} est différentiable en (0, 0).

5. On suppose que α ≤ \frac{1}{2}. Montrer que f_{α} n’est pas différentiable en (0, 0).

On pourra pour cela considérer le comportement de f_{α} sur la droite y = x.