Université de Caen 2^{e} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Algèbre

Feuille n^{o} 1

Exercice 1. Résoudre les systèmes suivants.

(S_{1}) \{ \begin{matrix}2x & + & 2y & + & 7z & = & 5 \\ −x & + & 2y & + & z & = & 2 \\ x & + & 2y & + & 5z & = & 4 \end{matrix} (S_{2}) \{ \begin{matrix}x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ 2x & + & 5y & + & 8z & = & 0 \\ 3x & + & 4y & + & 10z & = & 1 \end{matrix}

(S_{3}) \{ \begin{matrix}x & + & y & + & (1 − a)z & = & a + 2 \\ (1 + a)x & − & y & + & 2z & = & 0 \\ 2x & − & ay & + & 3z & = & a + 2 \end{matrix}

Dans le dernier cas on discutera selon la valeur du paramètre réel a.

Exercice 2. On considère les systèmes d’équations linéaires suivants :

(S_{1}) \{ \begin{matrix}x + 3y + 2z = 0 \\ x + y + z + t = 0 \\ x − t = 0, \end{matrix} (S_{2}) \{ \begin{matrix}x + y − z − t = 0 \\ x − y − z + 3t = 0 \\ x − z + t = 0 \\ 2x + y − 2z = 0. \end{matrix}

Montrer que les ensembles de solutions de (S_{1}) et (S_{2}) forment des sous-espaces de ℝ^{4}. Déterminer la dimension et une base de chacun de ces sous-espaces.

Exercice 3. Dans chacun des cas ci-dessous, montrer que B est une base de l’espace vectoriel E et calculer les coordonnées du vecteur u dans la base B.

a. E = ℝ^{3} ; B = ((0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)) ; u = (1, 3, 2).

b. E = ℂ^{3} ; B = ((1, −1, i), (−1, i, 1), (i, 1, −1)) ; u = (1 + i, 1 − i, i).

c. E = ℝ_{3}[X] ; B = (1 + X + X^{2} + X^{3}, X + X^{2} + X^{3}, X^{2} + X^{3}, X^{3}) ; u = (X + 1)^{2}.

Exercice 4. Déterminer le noyau et le rang des applications linéaires suivantes :

a. f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, (x, y, z) ↦ (x + y, y + z, 2x − 3y + z),

b. f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, (x, y, z) ↦ (x + 2y − z, y − z, 2x + 2z),

c. f : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (x, y) ↦ (4x, y − x, 2x + y),

d. f : ℝ^{3} → ℝ^{2}, (x, y, z) ↦ (2x + y − z, x − y),

e. f : ℝ_{2}[X] → ℝ_{2}[X], P ↦ XP′.

Exercice 5. Calculer les déterminants suivants :

| \begin{matrix}4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} | , | \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ −1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \end{matrix} | , | \begin{matrix}1 & 0 & 3 & 2 \\ −1 & 1 & 8 & −5 \\ 2 & 0 & 6 & 3 \\ −1 & 0 & −3 & −7 \end{matrix} | .

Exercice 6. Soit les applications linéaires

f : ℝ^{3} → ℝ^{2}, (x, y, z) ↦ (x + 2y + 3z, y + 2z),
g : ℝ^{2} → ℝ^{3}, (x, y) ↦ (x − y, x − 2y, x − 3y).

a. Donner, dans les bases canoniques de ℝ^{2} et de ℝ^{3}, les matrices de f et g.

b. Calculer les matrices de g ∘ f et de f ∘ g dans les bases précédentes.

En déduire l’expression de (g ∘ f)(x, y, z) et de (f ∘ g)(x, y). c. Calculer le rang des applications linéaires f ∘ g et g ∘ f.

Lorsque c’est possible, donner la matrice de leur inverse.

Exercice 7. Soit f : ℝ^{3} → ℝ^{2} l’application linéaire définie par f(x, y, z) = (−x + y, x + 2y + z). On considère les vecteurs suivants de ℝ^{3} et ℝ^{2} :

u_{1} = (1, 1, 2), u_{2} = (1, 0, 1), u_{3} = (1, −1, 1) et v_{1} = (1, 1), v_{2} = (1, −1).

a. Montrer que U = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) et V = (v_{1}, v_{2}) sont des bases de ℝ^{3} et ℝ^{2}, respectivement.

b. On note B_{2} la base canonique de ℝ^{2}, et B_{3} celle de ℝ^{3}. Écrire la matrice de f dans B_{3} et B_{2}, puis B_{3} et V, et enfin dans U et V.

Exercice 8. Dans le plan vectoriel rapporté à une base (i, j) on définit l’application linéaire f par :

f(i) = 2i − 3j, f(j) = i − 2j.

a. Exprimer les coordonnées de f(u) en fonction de celles de u, dans la base (i, j).

b. Montrer que l’ensemble des vecteurs u tels que f(u) = u est une droite.

Déterminer un vecteur directeur i′ de cette droite. c. Montrer que l’ensemble des vecteurs u tels que f(u) = −u est une droite.

Déterminer un vecteur directeur j′ de cette droite. d. Montrer que (i′, j′) est une base.

Donner l’expression de f dans cette base, comme à la première question. e. Soit v = i′ + 2j′. Placer i′, j′, v et f(v) sur un dessin.

Exercice 9. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} représenté dans la base canonique B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) de ℝ^{3} par la matrice

A = ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & −1 \\ 1 & −1 & 3 \end{matrix} ) .

a. On pose e′_{1} = e_{2} + e_{3}, e′_{2} = e_{1} + e_{3}, e′_{3} = e_{1} + e_{2}. Montrer que B′ = (e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}) est une base de ℝ^{3}.

b. Écrire la matrice A′ de f dans la base B′. Calculer A^{′n} pour tout n.

c. Écrire la matrice de passage de B à B′. Calculer les coordonnées dans B′ du vecteur u = e_{1} + e_{2} + e_{3}. d. Calculer les coordonnées dans la base canonique du vecteur f^{n}(u).