Université de Caen 2^{e} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Algèbre

Feuille n^{o} 3

Exercice 1. Soit B = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) la base canonique de ℝ^{3}. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} représenté dans B par

A = ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & −1 \\ 1 & −1 & 3 \end{matrix} ) .

a. On pose e′_{1} = e_{2} + e_{3}, e′_{2} = e_{1} + e_{3}, e′_{3} = e_{1} + e_{2}. Écrire la matrice A′ de f dans la base B′.

b. Calculer A^{′n} pour tout n.

c. Écrire la matrice de passage P de B à B′ et donner une formule pour A^{n} en fonction de P.

d. Calculer les coordonnées dans B′ du vecteur u = e_{1} + e_{2} + e_{3}.

e. Calculer les coordonnées dans la base canonique du vecteur f^{n}(u).

f. Question subsidiaire : Calculer P^{−1}, puis A^{n} pour tout n.

Exercice 2. Soit f l’endomorphisme de ℂ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}4 & −5 & 7 \\ 1 & −4 & 9 \\ −4 & 0 & 5 \end{matrix} ) .

a. Calculer le polynôme caractéristique de f.

b. Montrer que l’endomorphisme f est diagonalisable.

Exercice 3. Considérons la matrice

A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

a. Calculer les valeurs propres de A dans ℂ.

b. Montrer sans calcul que A^{4} = I_{4}.

c. Calculer A^{n} pour tout n.

Exercice 4. Soit A = ( \begin{matrix}2 & 0 & 4 \\ 3 & −4 & 12 \\ 1 & −2 & 5 \end{matrix} ). On se propose de chercher les matrices B ∈ M_{3}(ℝ) telles que B^{2} = A.

a. Déterminer les valeurs propres de A et une matrice P telle que P^{−1}AP soit diagonale.

b. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont A est la matrice dans la base canonique, et g ∈ L(ℝ^{3}) tel que g^{2} = f. (i) Montrer que g ∘ f = f ∘ g. (ii) En déduire que les vecteurs propres de f sont aussi des vecteurs propres pour g. (iii) Quelles possibilités a-t-on pour les valeurs propres associées ?

c. Combien l’équation B^{2} = A a-t-elle de solutions dans M_{3}(ℝ) ?

Donner ces solutions.

Exercice 5. On considère deux suites (u_{n}), (v_{n}) définies par les valeurs u_{0} = 7, v_{0} = 4 et le système de récurrence suivant :

\{ \begin{matrix}u_{n+1} & = & 11u_{n} − 18v_{n} \\ v_{n+1} & = & 6u_{n} − 10v_{n}. \end{matrix}

On pose X_{n} = ( \begin{matrix}u_{n} \\ v_{n} \end{matrix} ) pour tout n ∈ ℕ.

a. Trouver une matrice A ∈ M_{2}(ℝ) telle que le système ci-dessus s’écrive X_{n+1} = AX_{n}.

b. Trouver une matrice P ∈ GL_{2}(ℝ) et une matrice diagonale D ∈ M_{2}(ℝ) telles que A = P DP^{−1}. On pose Y_{n} = P^{−1}X_{n} et on appelle w_{n}, x_{n} ses composantes : Y_{n} = P^{−1}X_{n} = ({w_{n} \atop x_{n}} ). Dans cet exercice on n’a pas besoin de calculer P^{−1}.

c. Déterminer w_{0} et x_{0} en résolvant un système linéaire.

d. Montrer que la suite (Y_{n}) vérifie l’équation de récurrence Y_{n+1} = DY_{n}.

En déduire deux équations de récurrence simples vérifiées par w_{n} et x_{n}. e. Calculer u_{n} et v_{n} pour tout n.

Exercice 6. Déterminer les suites (u_{n}), (v_{n}), (w_{n}) données par u_{0} = −3, v_{0} = 1, w_{0} = 0 et

\{ \begin{matrix}u_{n+1} & = & −u_{n} \\ v_{n+1} & = & u_{n} − v_{n} + w_{n} \\ w_{n+1} & = & 3u_{n} + 2w_{n}. \end{matrix}