Université de Caen 2^{e} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Algèbre

Feuille n^{o} 5

Exercice 1. Soit a un nombre réel, et soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = a(x^{2} + y^{2} + z^{2}) − 2xy + 2xz + 2yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

a. On suppose que a = 0. Soit D la droite de ℝ^{3} engendré par le vecteur v = (2, 2, 1).

Trouver une base de D^{⊥}. Les sous-espaces vectoriels D et D^{⊥} sont-ils supplémentaires ? b. Montrer que la forme quadratique q est définie positive si et seulement si a > 2. c. On suppose que a = 4. Soit P le plan de ℝ^{3} d’équation 9x − y + 6z = 0. Trouver une base de P^{⊥}.

Exercice 2. Soit q : ℝ^{3} → ℝ l’application définie par la formule

q(x, y, z) = x^{2} + 6y^{2} + z^{2} + 2xy + 4yz.

a. Montrer que q est une forme quadratique en donnant l’expression de la forme bilinéaire φ associée.

b. Montrer que φ est un produit scalaire sur ℝ^{3}.

Dans la suite de l’exercice on munit ℝ^{3} de ce produit scalaire. c. Calculer les quantités ∥(0, 0, 1)∥, ∥(−2, 1, −2)∥ et (0, 0, 1) · (−2, 1, 0).

Donner l’équation du plan P orthogonal au vecteur (0, −1, 2). d. Trouver une base de P, puis une base orthonormale de P. e. À l’aide des question précédentes, et sans calcul, donner une base orthonormale de ℝ^{3}.

Exercice 3. Soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = x^{2} + 6y^{2} + 16z^{2} − 4xy + 6xz − 16yz.

a. Montrer que la forme bilinéaire symétrique associée à q est un produit scalaire.

b. Orthonormaliser la base canonique.

c. Donner l’équation du plan orthogonal au vecteur (0, 1, 2).

Exercice 4. Soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 4z^{2} − 2xy + 2xz − 6yz.

a. Montrer que la forme bilinéaire associée à q définit un produit scalaire sur ℝ^{3}.

Calculer les quantités suivantes : ∥(0, 0, 1)∥, ∥(3, 1, 0)∥, (3, 1, 0) · (−4, 0, 1), ∥(0, 4, 3)∥. b. Orthonormaliser la base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}).

Soit P l’orthogonal du vecteur e_{1} + e_{2}. Trouver une base orthonormale de P. c. Soit Q l’orthogonal du vecteur e_{3}.

(i) Écrire l’équation de Q.

(ii) Trouver une base de Q, puis une base orthonormale de Q.

(iii) Donner une base orthonormale (v_{1}, v_{2}, v_{3}) de (ℝ^{3}, q) telle que Q = Vect(v_{2}, v_{3}).

Exercice 5. Soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 4z^{2} − 2xy + 2xz − 6yz.

a. Montrer que la forme bilinéaire associée à q définit un produit scalaire sur ℝ^{3}.

Orthonormaliser la base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}). b. Soit P le plan orthogonal au vecteur (1, 1, 0). Quel est le projeté orthogonal de e_{1} sur P ? c. Calculer les coordonnées des projetés orthogonaux de e_{2} et e_{3} sur P. d. Écrire la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P.

Est-elle symétrique ? Pourquoi ? Quelles sont ses valeurs propres ?

Exercice 6. On munit ℝ^{4} du produit scalaire usuel. Soient u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} les vecteurs de ℝ^{4} définis par

u_{1} = (2, 1, 0, 2), u_{2} = (0, 1, 0, 1), u_{3} = (2, 1, 3, 1), u_{4} = (1, 1, 1, 1).

a. Montrer que (u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}) est une base de ℝ^{4}. b. Orthonormaliser la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}) selon le procédé de Gram-Schmidt. c. Soit P le plan de ℝ^{4} engendré par les vecteurs u_{1} et u_{2}.

Trouver la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à P.

Exercice 7. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

a. Montrer que f est une projection dont on déterminera l’image et le noyau. b. f est-elle une projection orthogonale pour le produit scalaire usuel sur ℝ^{3} ? c. Montrer que la forme quadratique suivante définit un produit scalaire sur ℝ^{3} :

q(x, y, z) = x^{2} + 11y^{2} + 6z^{2} − 6xy + 2xz − 2yz.

d. Montrer que f est une projection orthogonale si on munit ℝ^{3} de ce produit scalaire. e. Donner une autre forme quadratique q pour laquelle ce résultat reste valable.

Exercice 8. Soient n un entier positif et E = ℝ[X]_{n}. Soit φ : E × E → ℝ l’application définie par

φ(P, Q) = ∫_{0}^{1} P (t)Q(t)dt.

a. Montrer que φ définit un produit scalaire sur E.

Calculer ||X − \frac{1}{2}|| et (2X − 1) · X^{2}. b. Montrer qu’il existe un unique polynôme H ∈ E tel que

∀ P ∈ E ∫_{0}^{1} H(t)P (t)dt = P′(0).

c. On considère le cas n = 2.

(i) Orthonormaliser la base (1, X, X^{2}) selon le procédé de Gram-Schmidt.

(ii) Calculer le polynôme H.

Exercice 9. Soit E un espace euclidien.

a. Montrer que pour tous u, v ∈ E, on a l’égalité

2 (u · v) = ∥u + v∥^{2} − ∥u∥^{2} − ∥v∥^{2}.

b. En déduire que pour tous u, v ∈ E, on a l’égalité de la médiane :

∥u + v∥^{2} + ∥u − v∥^{2} = 2 (∥u∥^{2} + ∥v∥^{2}) .

c. En déduire par ailleurs que pour tous u, v ∈ E on a

u⊥v ⟺ ∥u + v∥^{2} = ∥u∥^{2} + ∥v∥^{2}.

Exercice 10. Pour tout nombre réel a on s’intéresse à la forme quadratique q_{a} sur ℝ^{3} définie par

q_{a}(x, y, z) = x^{2} + 5y^{2} + 2z^{2} + a^{2}z^{2} + 4xy − 2ayz.

a. Montrer que q_{a} est définie-positive, pour tout a ∈ ℝ. b. Déterminer pour tout a ∈ ℝ un vecteur directeur de l’orthogonal au plan d’équation z = 0.