Université de Caen 2^{e} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Feuille n^{o} 4

Exercice 1. Pour tous x, y ∈ ℝ on pose

d′(x, y) = \sqrt{|x − y|} et d′′(x, y) = \frac{|x − y|}{1 + |x − y|}.

a. Montrer que d′ et d′′ sont des distances sur ℝ.

b. Soit (x_{n}) une suite de réels et x ∈ ℝ.

Montrer que (x_{n}) converge vers x au sens de d′ ou d′′ ssi (x_{n}) converge vers x au sens usuel. c. Représenter les boules de centre 0 et rayon 1 associées aux distances d′ et d′′.

Exercice 2. Pour x, y ∈ ℝ on pose d(x, y) = min(2, |x − y|).

a. Montrer que d est une distance sur ℝ.

b. Représenter les boules ouvertes B_{d}(0, 1), B_{d}(0, 2), B_{d}(0, 3) relativement à d.

Représenter la boule fermée B̄_{d}(0, 2). c. Soit (x_{n}) une suite de réels et x ∈ ℝ. Montrer que (x_{n}) converge vers x relativement à d si et seulement si

(x_{n}) converge vers x relativement à la distance usuelle sur ℝ. d. Soit x ∈ B̄_{d}(0, 2). Existe-t-il une suite (x_{n}) à valeurs dans B_{d}(0, 2) et qui converge vers x?

Exercice 3. Rappelons que les distances d_{1}, d_{2}, d_{∞} sur ℝ^{2} vérifient :

d_{1}((0, 0), (x, y)) = |x| + |y|, d_{2}((0, 0), (x, y)) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, d_{∞}((0, 0), (x, y)) = max(|x|, |y|).

a. Représenter les boules ouvertes de centre (0, 0) et rayon 1 associées aux distances d_{1}, d_{2} et d_{∞}.

b. Démontrer les inégalités max(|s|, |t|) ≤ \sqrt{s^{2} + t^{2}} ≤ |s| + |t| ≤ 2 max(|s|, |t|) pour tous s, t ∈ ℝ.

c. En déduire des inclusions entres boules ouvertes de centre (0, 0) associées à d_{1}, d_{2}, d_{∞}.

Exercice 4. Pour deux points (x, y), (x′, y′) ∈ ℝ^{2} on pose

d((x, y), (x′, y′)) = \{ \begin{matrix}|y − y′| & si x = x′ \\ |y| + |y′| + |x − x′| & si x ≠ x′. \end{matrix}

a. Montrer que d est une distance sur ℝ^{2}.

b. Représenter les boules B_{d}((1, 0), 1), B_{d}((1, 1), 1), B_{d}((1, 1), 2) relatives à d.

c. Montrer qu’on a, pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2} et tout r > 0 :

B_{d}((x, y), r) = ({x} ×]y − r, y + r[) ∪ B_{1}((x, 0), r − |y|),

où on note B_{1} les boules ouvertes relatives à la distance d_{1}.

Exercice 5. Notons 𝔻_{1} l’ensemble des nombres décimaux dans [0, 1[. Pour x ≠ y dans 𝔻_{1} on note k(x, y) la position du premier chiffre qui diffère dans les écritures décimales de x et y, en rajoutant si besoin des 0 à la fin :

\{ \begin{matrix}x & = & 0, a_{1}a_{2} … a_{k−1}a_{k}a_{k+1} … a_{n} \\ y & = & 0, a_{1}a_{2} … a_{k−1}b_{k}b_{k+1} … b_{n} \end{matrix} avec k = k(x, y), a_{k} ≠ b_{k}.

On pose ensuite, pour x, y ∈ 𝔻_{1} :

d(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{1+k(x,y)} & si x ≠ y \\ 0 & si x = y. \end{matrix}

a. Soit x ≠ y des éléments de 𝔻_{1} et k = k(x, y). Montrer qu’on a, pour tout z ∈ 𝔻_{1}, k(x, z) ≤ k ou k(y, z) ≤ k. b. Montrer que d est une distance et que d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)).

Pour x ∈ 𝔻_{1} et r > 0 on note B_{d}(x, r) la boule de centre x et rayon r relativement à d. c. Soit r > 0 et x, y ∈ 𝔻_{1} tels que d(x, y) < r. Montrer que B_{d}(x, r) = B_{d}(y, r).