Université de Caen 2^{e} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Feuille n^{o} 5

Exercice 1. Montrer que l’application f : ℝ^{2} → ℝ définie comme suit est continue sur ℝ^{2} :

f(x, y) = \frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}.

Exercice 2. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer que f est continue en (0, 0). On pourra commencer par montrer que |x| ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} et |y| ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

Exercice 3. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

L’application f est-elle continue en (0, 0) ? On pourra calculer f(x, x) pour x ≠ 0. Qu’en est-il si on pose f(0, 0) = \frac{1}{2} au lieu de 0 ?

Exercice 4. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer que f est continue sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}, puis sur toute droite passant par (0, 0). Faire tendre (x, y) vers (0, 0) sur la parabole d’équation y = x^{2}. L’application f est-elle continue en (0, 0) ?

Exercice 5. On munit ℝ^{2} de la norme euclidienne canonique, et ℝ de la norme usuelle. Soit n un entier positif, et soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par :

f(x, y) = \frac{xy^{n}}{x^{2} + y^{2}} si (x, y) ≠ (0, 0) et f(0, 0) = 0.

a. Montrer que pour tous entiers p, q ∈ ℕ et tous réels x, y ∈ ℝ on a |x^{p}y^{q}| ≤ (x^{2} + y^{2})^{\frac{p+q}{2}} .

b. On suppose que n > 1. Montrer que la fonction f est continue sur ℝ^{2}.

c. On suppose que n = 1. Montrer que la fonction f n’est pas continue sur ℝ^{2} entier.

Exercice 6. On définit une fonction f : ℝ^{2} → ℝ en posant

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{ln(1 + x^{2} + y^{2})} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

a. Montrer que f est continue sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}. Soit α un paramètre réel fixé et D_{α} la droite d’équation y = αx dans ℝ^{2}.

b. Trouver deux suites (x_{n}), (y_{n}) qui tendent vers 0 et telles que (x_{n}, y_{n}) ∈ D_{α} pour tout n.

c. Calculer la limite de la suite (f(x_{n}, y_{n})), si elle existe.

On rappelle que lim_{t→0} \frac{ln(1+t)}{t} = 1. d. La fonction f est-elle continue en (0, 0) ? Peut-on modifier sa valeur en (0, 0) pour la rendre continue ?

Exercice 7. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}(1 + x^{2} + y^{2}) \frac{sin y}{y} & si y ≠ 0 \\ 1 + x^{2} & si y = 0. \end{matrix}

Montrer que f est continue sur ℝ^{2}. On introduira la fonction « \frac{sin t}{t} » de ℝ dans ℝ.

Exercice 8. Étudier la continuité sur ℝ^{2} de l’application

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{cos(xy) − 1}{x^{2}y^{2}} & si xy ≠ 0 \\ −\frac{1}{2} & sinon. \end{matrix}

Exercice 9. Soit a ∈ ℝ un réel fixé, et φ_{1} : ]−∞, a] → ℝ, φ_{2} : [a, +∞[ → ℝ deux fonctions continues telles que φ_{1}(a) = φ_{2}(a). On définit φ : ℝ → ℝ en posant φ(t) = φ_{1}(t) si t ≤ a et φ(t) = φ_{2}(t) si t ≥ a.

a. Montrer que φ est continue sur ℝ.

b. Démontrer la continuité de la fonction f : ℝ^{2} → ℝ définie par

f(x, y) = ln(2 − e^{x+y}) si x + y ≤ 0 et f(x + y) = sin(x + y) si x + y > 0.