Université de Caen 2^{e} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Feuille n^{o} 6

Exercice 1. Calculer les dérivées partielles des fonctions de ℝ^{2} dans ℝ définies par les expressions suivantes :

f_{1}(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} ;  f_{2}(x, y) = Log(x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}) ;  f_{3}(x, y) = Log(tan \frac{x}{y}) ;
f_{4}(x, y) = (xy)^{z};  f_{5}(x, y) = \frac{xy^{2}}{x + y} ;  f_{6}(x, y) = Log(1 + \frac{y}{x}).

Exercice 2. Soit g : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{1} et f : ℝ^{2} → ℝ la fonction définie par

f(x, y) = sin(x + g(y^{2}, x)).

Montrer que f est de classe C^{1} et calculer ses dérivées partielles en fonction de celles de g.

Exercice 3. Soit f : ℝ^{3} → ℝ une application de classe C^{1} et soit g : ℝ^{3} → ℝ l’application définie par

g(x, y, z) = f(x^{2} − y^{2}, y^{2} − z^{2}, z^{2} − x^{2}).

Montrer que g est de classe C^{1} et que pour tout réel t on a

\frac{∂g}{∂x}(t, t, t) + \frac{∂g}{∂y} (t, t, t) + \frac{∂g}{∂z} (t, t, t) = 0.

Exercice 4. Soit f : ℝ_{+}^{∗} × ℝ_{+}^{∗} × ℝ → ℝ la fonction définie par f(x, y, z) = x^{y^{z}}.

a. Montrer que la fonction f est de classe C^{1} et calculer les dérivées partielles de f.

b. Soit g : ℝ_{+}^{∗} → ℝ la fonction définie par g(x) = x^{x^{x}}.

Montrer que g est dérivable et calculer g′(x) pour tout x > 0.

Exercice 5. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par f(x, y) = |x| sin(x^{2} + y).

a. Montrer que f est continue sur ℝ^{2}.

b. En quels points de ℝ^{2} la fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x? à y?

Exercice 6. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer que f admet des dérivées partielles en (0, 0), que l’on calculera. Est-elle continue en (0, 0) ?

Exercice 7. Montrer à l’aide la définition que les applications suivantes sont différentiables en tout point :

f_{1} : (x, y) ↦ y + xy^{2}, f_{2} : (x, y, z) ↦ x^{2} + xy + z^{2}.

Expliciter la différentielle de f_{1} en (1, 0) et celle de f_{2} en (1, 0, 1).

Indication : si p et q sont deux entiers tels que p + q ≥ 2, alors lim_{(h,k)→(0,0)} \frac{h^{p}k^{q}}{∥(h, k)∥} = 0.

Exercice 8. Montrer, en calculant des dérivées partielles, que les applications suivantes sont différentiables :

f_{1}(x, y) = ln(1 + x^{2} + y^{2}), f_{2}(x, y, z) = cos(xy) + x sin(z).

Expliciter la différentielle de f_{1} en (1, 0) et celle de f_{2} en (1, 0, \frac{π}{2} ).

Exercice 9. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer successivement :

– que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}, et calculer ses dérivées partielles,

– que f admet l’application linéaire nulle comme différentielle en (0, 0),

– que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2}.

Exercice 10. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par f(x, y) = \frac{sin(xy)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} si (x, y) ≠ (0, 0) et f(0, 0) = 0.

a. Montrer que f est continue sur ℝ^{2}, sachant que | sin t| ≤ |t| pour tout t ∈ ℝ. b. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}, en explicitant ses dérivées partielles. c. Montrer que f admet des dérivées partielles nulles en (0, 0). d. Quelle relation vérifierait f(x, x) si f était différentiable en (0, 0) ?

Déterminer lim_{t→0} \frac{sin t}{t} et en déduire que f n’est pas différentiable en (0, 0).

Exercice 11. On pose U = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ≠ 0} et on définit une application f : ℝ^{2} → ℝ par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}y^{2} sin (\frac{x}{y}) & si (x, y) ∈ U \\ 0 & si (x, y) ∉ U. \end{matrix}

a. Montrer que U est un ouvert de ℝ^{2} et que f est de classe C^{1} sur U. b. Montrer que f est continue sur ℝ^{2}. c. Montrer que f a des dérivées partielles en tout point de ℝ^{2}. d. Montrer que f est différentiable en tout point de ℝ^{2}. e. Montrer que f n’est pas de classe C^{1} sur ℝ^{2}.

Exercice 12. Soit f la fonction de ℝ^{2} dans ℝ définie par f(x, y) = |x^{3} − y^{3}|^{2/3}.

a. Montrer que f est définie et continue sur ℝ^{2}. b. Soit U_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} − y^{3} > 0} et U_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} − y^{3} < 0}.

(i) Montrer que U_{1} et U_{2} sont des ouverts de ℝ^{2}. (ii) Montrer que g est de classe C^{1} sur U_{1} et U_{2}.

c. Montrer que g n’est pas différentiable en (1, 1).

Exercice 13. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x^{3} − sin y^{3}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

a. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}. b. Montrer que f admet des dérivées partielles en (0, 0) et les calculer.

c. Calculer \frac{∂f}{∂x} (x, x) pour tout x ≠ 0 et en déduire que f n’est pas de classe C^{1} sur ℝ^{2}. d. En considérant f(x, −x), montrer que f n’est même pas différentiable en (0, 0).