Université de Caen 2^{e} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Feuille n^{o} 7

Exercice 1. Calculer les matrices hessiennes des applications suivantes, définies sur ℝ^{2} ou ℝ^{3} :

f(x, y) = ln(1 + x^{2} + y^{2}), g(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} − z^{2} + 2xy − 5yz, h(x, y) = x^{3}y^{2} + cos(xy).

Que peut-on remarquer sur ces exemples ? Démontrer que c’est un fait général.

Exercice 2. Montrer que les fonctions suivantes sont harmoniques :

f : ℝ^{∗} × ℝ → ℝ, (x, y) ↦ arctan \frac{y}{x},

g : ℝ^{2} \ {(a, b)} → ℝ, (x, y) ↦ ln((x − a)^{2} + (y − b)^{2}).

Exercice 3. Soit u : ℝ^{∗} ×]0, 2π[ → ℝ^{2} la fonction définie par u(r, θ) = (r cos θ, r sin θ). Soit f : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{2} et posons F = f ∘ u.

a. Montrer que F est de classe C^{2} et calculer ses dérivées partielles en fonction de celles de f.

b. Exprimer \frac{∂f}{∂x} (r cos θ, r sin θ) et \frac{∂f}{∂y} (r cos θ, r sin θ) en fonction de \frac{∂F}{∂r} , \frac{∂F}{∂θ} , r et θ.

c. Établir l’expression suivante du laplacien en coordonnées polaires :

(Δf)(r cos θ, r sin θ) = \frac{∂^{2}F}{∂r^{2}} (r, θ) + \frac{1}{r} \frac{∂F}{∂r} (r, θ) + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}F}{∂θ^{2}} (r, θ).

d. On prend f(x, y) = x^{2} − y^{2}. Montrer que f est harmonique. Que vaut F dans ce cas ?

e. Montrer plus généralement — et directement — que les fonctions F (r, θ) = r^{k} cos(kθ) des coordonnées polaires (r, θ) sont harmoniques, pour tout k ∈ ℤ.

Exercice 4. Soit g : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{2} et soit f : ℝ^{2} → ℝ^{2} l’application définie par

f(x, y) = (x^{2} + y^{2}, xy) pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

Montrer que g ∘ f est de classe C^{2} sur ℝ^{2} et calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de g ∘ f en fonction des dérivées partielles de g.

Exercice 5. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy(x^{2} − y^{2})}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

a. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} et C^{2} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}.

b. Montrer que \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) et \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0) existent et les calculer.

c. f est-elle de classe C^{2} sur ℝ^{2} ?

Exercice 6. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{(x^{2} − y^{2})^{2}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

a. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2}.

b. Calculer \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} sur ℝ^{2} et en déduire que f n’est pas de classe C^{2} sur ℝ^{2}.