Université de Caen 2^{e} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Feuille n^{o} 8

Exercice 1. On considère l’application f : ℝ^{2} → ℝ^{2} définie par

f(x, y) = (e^{x} − e^{y}, x + y).

a. Soit a > 0 et b deux réels fixés.

Montrer que l’équation t − at^{−1} = b admet une unique solution t dans ℝ_{+}^{∗}. b. Montrer que f est bijective de ℝ^{2} dans ℝ^{2}.

On appelle g la fonction réciproque. c. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} et écrire sa matrice jacobienne. d. Montrer que g est de classe C^{1}.

Exercice 2. On considère l’application f : ℝ^{2} → ℝ définie par

f(r, θ) = (r cos θ, r sin θ).

a. Soit r ≠ 0 et θ ∈ ℝ. Montrer qu’il existe un ouvert U ⊂ ℝ^{2} contenant (r, θ) et tel que f est injective sur U. b. Soit θ ∈ ℝ. Montrer qu’il n’existe pas d’ouvert U ⊂ ℝ^{2} contenant (0, θ) et tel que f soit injective sur U. c. Trouver un intervalle ouvert I ⊂ ℝ tel que f soit injective sur ℝ^{∗} × I.

Exercice 3. On considère l’application f : ℝ^{2} → ℝ^{2} définie par

f(x, y) = (x + y, xy).

a. Soit u et v deux réels fixés. On considère le système : x + y = u, xy = v.

À quelle condition sur u et v ce système admet-il une solution (x, y) ∈ ℝ^{2} avec |x| ≠ |y|? b. Montrer que f est injective sur l’ouvert U = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | |y| < |x|} et déterminer V = f(U). c. Montrer que f définit un C^{1}-difféomorphisme entre U et V.

Exercice 4. On considère la courbe C ⊂ ℝ^{2} définie par l’équation x^{3} − 2xy + 2y^{2} − 1 = 0.

a. Vérifier que le point A = (1, 1) appartient à C.

b. Montrer qu’autour de A la courbe coincide avec le graphe d’une fonction g et déterminer g′(1).

c. Écrire l’équation de la tangente à C en A.

Exercice 5. On considère la courbe C ⊂ ℝ^{2} définie par l’équation x + y + x^{2}y + y^{3} = 0.

a. Montrer que C coincide avec le graphe d’une fonction autour de chacun de ses points.

b. Soit (x, y) ∈ C. Calculer la pente de la tangente à C en (x, y).

c. Déterminer les points de C en lesquels la tangente à C est horizontale.

Exercice 6. On considère la courbe C ⊂ ℝ^{2} définie par l’équation y^{3} + xy − 12 = 0.

a. Déterminer l’unique point A ∈ C en lequel on ne peut pas appliquer le théorème des fonctions implicites

pour exprimer y en fonction de x. b. Déterminer la pente de la tangente à C en tout point de C différent de A. c. Montrer que C est également définie par une équation du type x = g(y). d. En calculant g′, retrouver le résultat de la question b.