Université de Caen 2^{e} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Feuille n^{o} 9

Exercice 1. Rechercher les points critiques des fonctions

f : ℝ^{3} → ℝ, (x, y, z) ↦ x^{2} + y^{2} + z^{2} − 2xyz,

g : ℝ^{2} ×]0, +∞[ → ℝ, (x, y, z) ↦ \frac{−x^{2}}{z} + xyz − z − y.

Exercice 2. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par f(x, y) = (x^{2} + y^{2})e^{−(x^{2}+y^{2})}.

a. Calculer les dérivées partielles et déterminer les points critiques de f.

b. Étudier la fonction g : ℝ_{+} → ℝ définie par g(u) = ue^{−u}.

c. En déduire les extremums de f sur ℝ^{2}.

Exercice 3. Soit a ∈ ℝ, et f : ]0, +∞[^{2} → ℝ définie par f(x, y) = x log y + y log x + a(x^{3} + y^{3}). a. Calculer les dérivées partielles de f jusqu’à l’ordre 2 en (1, 1). b. Pour quelles valeurs de a la fonction f admet-elle un extremum local en (1, 1) ?

Préciser s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum.

Exercice 4. Etudier les extremums locaux des fonctions f : ℝ^{2} → ℝ suivantes :

a. f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 4xy,

b. f(x, y) = x^{3} + 3xy^{2} − 15x − 12y,

c. f(x, y) = (4x − 3y)e^{−(x^{2}+y^{2})},

d. f(x, y) = (x − y)e^{xy}.

Exercice 5. Etudier les extremums locaux des fonctions f : ℝ^{3} → ℝ suivantes :

a. f(x, y, z) = z^{2}(1 + xy) + xy,

b. f(x, y, z) = (x + y)e^{x+y−z^{2}}.

Exercice 6. Etudier l’existence et la nature d’extremums éventuels des fonctions de deux variables réelles définies dans ℝ^{2} par les expressions suivantes :

a. f(x, y) = x^{2} + 4y^{2} + 2x − 4y,

b. f(x, y) = x^{2} + y^{4} − 2y^{2},

c. f(x, y) = x^{3} + y^{3} + 9xy − 36.

Exercice 7. On considère la fonction f définie sur ]0, π[ ×]−π, π[ par l’expression :

f(x, y) = cos x sin y + (sin(x))^{2}.

Étudier l’existence et la nature des éventuels extremums de f. Exercice 8. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel a, l’existence et la nature des extremums de la fonction f : ℝ^{2} → ℝ définie par l’expression suivante :

f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 4a^{2}xy + 8a^{4}.

Exercice 9. Soit f : ℝ^{2} → ℝ la fonction définie par f(x, y) = xy(x^{2} + y^{2} + xy − 1). a. Que valent f(y, x) et f(−x, −y) ? Que peut-on en déduire sur les points critiques de f ? b. Déterminer les points critiques de f. c. Déterminer les extremums locaux de f. d. La fonction f est-elle majorée ? Est-elle minorée ?

Exercice 10. Soit h : ℝ^{2} → ℝ définie par h(x, y) = (x − y)^{2} + \frac{1}{3}(x + y)^{3}.

a. Montrer que h possède un seul point critique dans ℝ^{2} mais n’admet pas d’extremum local en ce point.

On pourra considérer h(x, x). b. On pose A = [−1, 1]^{2}. Montrer que la restriction de h à A possède un maximum et un minimum globaux

qui ne sont pas atteints sur ]−1, 1[^{2}. Déterminer ces extremums.

Exercice 11. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par l’égalité f(x, y) = x^{2} + xy^{2} + y^{6}. a. Déterminer les points critiques de f. b. Montrer que f(y^{3}, y) est du signe de y si 0 < |y| < 2.

En déduire que f n’admet pas d’extremum local en (0, 0). c. Écrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 de f aux autres points critiques. d. Montrer que f admet \frac{−1}{432} comme minimum local atteint en 2 points. e. Montrer que si f(x, y) ≤ 0 alors xy^{2} + y^{6} ≤ 0 et x^{2} + xy^{2} ≤ 0.

En déduire que f^{−1}(]−∞, 0[) ⊂ [−1, 0] × [−1, 1]. f. On pose A = [−1, 0] × [−1, 1].

Montrer que f(A) est une partie compacte de ℝ^{2} contenant toutes les valeurs négatives de f. g. Montrer que f admet un minimum global et donner sa valeur.