Université de Caen 1^{er} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques Licence 1 Approfondissement

Exercices de révision

[Nombres complexes] Exercice 1. Résoudre l’équation d’inconnue z ∈ ℂ :

z^{2} + (1 + i)z + 6 − 2i = 0.

On pourra utiliser le fait que 24^{2} + 10^{2} = 26^{2}. Exercice 2. Résoudre l’équation suivante :

z^{3} + 2(1 − 2i)z^{2} − (4 + 5i)z − 3 + i = 0.

On pourra vérifier que i est une des solutions. [Systèmes linéaires] Exercice 3. Résoudre en fonction du paramètre a ∈ ℝ le système

\{ \begin{matrix}x & & & + & z & + & t & = & 0 \\ ax & + & y & + & (a − 1)z & + & t & = & 0 \\ x & − & y & + & 2z & + & at & = & 0 \\ 2x & + & ay & + & z & + & 2t & = & 0. \end{matrix}

Exercice 4. Résoudre en fonction du paramètre a ∈ ℂ le système

\{ \begin{matrix}−2x & + & (a + 3i)y & = & 0 \\ (1 + i)x & + & a(1 − 2i)y & = & 2. \end{matrix}

[Polynômes et fractions rationnelles] Exercice 5. Déterminer le PGCD D des polynômes suivants :

A = X^{5} − 2X^{4} + 3X^{3} − 5X^{2} − X − 2, B = X^{4} − 3X^{3} + 5X^{2} − 8X + 4.

Trouver deux polynômes U et V tels que AU + BV = D. Exercice 6. Décomposer en éléments simples :

F = \frac{(i − 1)X^{2} + (2 + 3i)X + 3}{X^{3} + 2(1 − i)X^{2} + (2 − 5i)X − 3 + i}.

La DFI du dénominateur est donnée par l’exercice 2. Exercice 7. Soit P = X^{3} − 3X^{2} + 3X + 1 et Q = X^{4} − 5X^{3} + 9X^{2} − 8X + 4

a. Calculer le PGCD de Q et Q′.

b. Factoriser Q en facteurs irréductibles dans ℝ[X].

c. Décomposer en éléments simples dans ℝ(X) la fraction rationelle P/Q.