Licence 1 2006-2007 Mathématiques EM11

Fiche d’exercices n^{o} 2

Fonctions usuelles

On note E la fonction « partie entière », Log le logarithme népérien, ch et sh les fonctions cosinus et sinus hyperboliques.

1) Déterminer les réels m tels que l’équation (2m − 1)x^{2} + 2(m + 1)x + m + 3 = 0

admette deux racines réelles distinctes et inférieures ou égales à 1.

2) Résoudre les équations suivantes :

cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin (2x − \frac{π}{3} ) = sin (3x + \frac{π}{4} ),

\sqrt{3} cos(2x) − sin(2x) = 1, 2(sin x)^{2} − 3 sin x − 2 = 0.

3) Tansformer en sommes de sinus et cosinus les produits suivants :

cos(2x) cos(x), cos(x) sin(x) cos(3x), sin(x)^{3}.

4) Soit a et b deux réels fixés. Calculer pour tout n ∈ ℕ la somme

C_{n} = ∑_{k=0}^{n} cos(a + kb).

Lorsque b n’est pas multiple de 2π, on pourra multiplier par sin(\frac{b}{2}) et linéariser.

5) Montrer que || sin x| − | sin y|| ≤ | sin(x + y)| ≤ | sin x| + | sin y| pour tous x, y ∈ ℝ.

6) Montrer, en le calculant, que le nombre (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} est un entier.

7) Simplifier les expressions

\begin{matrix}\sqrt[3]{2} & \sqrt[5]{64^{3}} & \sqrt[4]{8^{5}} \\ \sqrt[5]{16} & \sqrt[3]{16^{4}} & \sqrt[20]{2048} \end{matrix}, \begin{matrix}\sqrt[5]{4} & \sqrt{8} & ( & \sqrt[3]{\sqrt[5]{4}} & ) & 2 \\ ^{3} & \sqrt{\sqrt{2}} \end{matrix} .

8) Simpifier les expressions suivantes, après avoir précisé pour quelles valeurs de x elles sont définies.

Log(Log(e^{e^{x}})), x^{\frac{Log(Log x)}{Log x}} ,

ch(Log(x + \sqrt{x^{2} − 1})), sh(Log(x + \sqrt{x^{2} + 1})).

9) Montrer qu’on a (ch x + sh x)^{n} = ch nx + sh nx pour tout x ∈ ℝ et tout n ∈ ℕ.

10) Soit a, b ∈ ℝ. Calculer pour tout n ∈ ℕ les sommes

C_{n} = ∑_{k=0}^{n} ch(a + kb) et S_{n} = ∑_{k=0}^{n} sh(a + kb).

11) Trouver tous les réels x tels que E(\sqrt{x}) = \sqrt{E(x)}. Résoudre dans ℝ l’équation E(\sqrt{x^{2} + 1}) = 2.

12) Déterminer les ensembles de définition des fonctions définies par les formules suivantes :

f(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x − 1}}, g(x) = \begin{matrix}√ & \overline{x + 1} \\ √ & \overline{x − 1} \end{matrix}, h(x) = \frac{1}{x − E(x)},

i(x) = \sqrt{x − E(x) − \frac{1}{2}}, j(x) = (1/\sqrt{x})^{\sqrt{x}}, k(x) = sin(x) Log(x).

13) Exprimer le plus simplement possible les composées de fonctions suivantes :

a. f ∘ g et g ∘ f avec f(x) = x^{3}, g(x) = 2 − x.

b. f ∘ f, f ∘ (f ∘ f), f ∘ [f ∘ (f ∘ f)], avec f(x) = −\frac{1}{x + 1}.

c. f ∘ g et g ∘ f avec g(x) = E(x) et f(x) = x − E(x). (On mettra les polynômes sous forme développée.)

14) Les fonctions considérées sont définies sur ℝ, à valeurs dans ℝ.

a. Soit G une fonction telle que, pour toute fonction f, on ait G ∘ f = f.

Montrer que G est la fonction identité. b. Soit G une fonction telle que, pour toute f, on ait G ∘ f = f ∘ G. Montrer que G est l’identité. c. Soit G une fonction telle que, pour tout f, on ait G ∘ f = G. Montrer que G est constante.

15) Composition de fonctions affines.

a. Si f(x) = ax + b et g(x) = cx + d sont deux fonctions affines, montrer que f ∘ g est affine et calculer sa

pente et son ordonnée à l’origine en fonction de a, b, c, d. b. Trouver toutes les fonctions affines f telles que f ∘ f = id. Existe-t-il d’autres fonctions, non affines,

vérifiant f ∘ f = id ?

16) Montrer que, pour tout entier b et tout réel x, on a E(x + b) = E(x) + b. Soit une fonction affine f, de pente a et d’ordonnée à l’origine b, telle que E ∘ f = f ∘ E.

a. Montrer que a et b sont forcément des entiers.

b. Montrer que a = 0 ou 1. Déterminer l’ensemble des fonctions affines f telles que f ∘ E = E ∘ f.

17) La fonction f(x) = \frac{1}{x} est-elle monotone sur ℝ_{+}^{∗}? sur ℝ_{−}^{∗}? sur ℝ^{∗}?

18) Soit x < y deux nombres réels, et f : ]0, +∞[ → ℝ la fonction définie par f(t) = \frac{x + ty}{1 + t}. Étudier la monotonie de f (sans calculer de dérivée).

19) Soit f et g deux fonctions réelles définies sur un intervalle I ⊂ ℝ. Pour tout x ∈ I on pose

M(x) = max(f(x), g(x)) et m(x) = min(f(x), g(x)).

Montrer que les fonctions M et m sont croissantes si c’est le cas de f et de g.

20) Soit f : ℝ → ℝ une fonction croissante telle que f ∘ f = id. Montrer que f = id.

21) Dire, parmi les fonctions suivantes, celles qui sont paires ou impaires.

f(x) = x^{3} + x, g(x) = x^{3} + x + 1, h(x) = C (constante),
i = id, j(x) = E(x), k(x) = (x − E(x) − 1/2)^{2}.

Montrer que la dernière de ces fonctions est périodique.