Université de Caen 1^{er} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques Licence 1 Approfondissement

Exercices Supplémentaires

Exercice 1. Calculer le PGCD unitaire de A = X^{6}−6X^{4}−5X^{3}−X^{2}−14 et B = X^{5}−2X^{4}−2X^{3}−2X^{2}+4X −4. Écrire la relation de Bézout correspondante.

Exercice 2. Soit A = X^{4} + 3X^{3} + 3X^{2} + 2X + 1, B = X^{3} + 2X^{2} − 1 et R, S deux polynômes fixés. On cherche l’ensemble des polynômes P ∈ ℝ[X] dont les restes dans les divisions euclidiennes par A et B valent R et S.

a. Montrer que le PGCD unitaire de A et B vaut D = X + 1 et écrire la relation de Bézout correspondante. b. Y a-t-il une solution P du problème quand R = X^{2} − 6 et S = −5X?

On pourra écrire la forme des divisions euclidiennes de P par A et B et faire leur différence. c. En utilisant le a., trouver une solution P_{0} du problème pour R = X^{2} − 6 et S = 5X. d. Montrer que P est solution du problème si et seulement si A et B divisent P_{0} − P. e. Le fait que A et B divisent P_{0} − P équivaut au fait que M = AB/D (PPCM de A et B) divise P_{0} − P.

Calculer le polynôme M et effectuer la division euclidienne de P_{0} par M. f. Quelle est la solution de degré minimal ?

Exercice 3. Examen, janvier 2006. On cherche à déterminer l’ensemble des polynômes P ∈ ℝ[X] tels que

(S) \{ \begin{matrix}P (3) = 1, & P′(3) = 1 \\ P (5) = 4, & P′(5) = 1. \end{matrix}

a. Soit P ∈ ℝ[X] un polynôme.

Montrer qu’on a P (3) = 1 et P′(3) = 1 si et seulement si il existe un polynôme A ∈ ℝ[X] tel que

P = (X − 3)^{2}A + (X − 2).

Montrer qu’on a P (5) = 4 et P′(5) = 1 si et seulement si il existe un polynôme A ∈ ℝ[X] tel que

P = (X − 5)^{2}A + (X − 1).

b. Montrer que P vérifie (S) si et seulement si il existe deux polynômes A, B ∈ ℝ[X] tels que

(1) P = (X − 3)^{2}A + (X − 2) et
(2) (X − 3)^{2}A − (X − 5)^{2}B = 1.

c. En écrivant une relation de Bézout, trouver deux polynômes A_{0}, B_{0} vérifiant (2).

Calculer le polynôme P correspondant. d. Montrer que si A et B vérifient (2), alors (X − 3)^{2}/(B − B_{0}) et (X − 5)^{2}/(A − A_{0}). e. Quel est l’ensemble des solutions (A, B) de (2) ?

Quel est l’ensemble des solutions P de (S) ?