Licence 1 2006-2007 Mathématiques EM11

Fiche d’exercices n^{o} 4

Développements limités

1) Calculer par récurrence la dérivée n^{ième} de f : x ↦ \frac{1}{1 − x}, définie sur ℝ \ \{1\}.

En déduire celles de g : x ↦ \frac{1}{1 + x} puis h : x ↦ \frac{1}{1 − x^{2}} .

Retrouver le développement de Taylor de f à tout ordre.

2) Examiner la parité de la fonction f définie pour |x| < 1 par f(x) = Log \frac{1 + x}{1 − x} et calculer le DL_{n}(0) de f pour tout n ∈ ℕ.

3) On considère les développements limités suivants au voisinage de 0 :

sin x = x + xε_{1}(x), sh x − x = \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + x^{5}ε_{2}(x).

a. Donner le DL_{1}(0) de sin x + (sh x − x). Commenter le résultat.

b. Quel est le DL_{5}(0) de sin x + (sh x − x) ?

4) Calculer les DL_{3}(0) de f : x ↦ \frac{e^{x}}{\sqrt{1 + x}} et g : x ↦ cos x sin x.

5) Calculer, lorsqu’ils existent :

a. le DL_{3}(1) de (Log x)/x^{2},

b. le DL_{3}(2) de Log x,

c. le DL_{3}(3) de \sqrt{x − 3}.

6) Montrer qu’il existe des réels a, b, c, d et une fonction φ : ]1, +∞[ → ℝ uniques tels que

\frac{x^{3} + 1}{x^{2} − 1} = ax + b + \frac{c}{x} + \frac{d}{x^{2}} + \frac{φ(x)}{x^{2}} et lim_{x→+∞} φ(x) = 0.

Donner la valeur de a, b, c et d.

7) Étudier l’existence d’un développement limité au voisinage de 0 de g : x ↦ \frac{e^{x} − \sqrt{1 + x}}{sin x − tan x}.

8) Soit f : ℝ → ℝ définie par f(0) = 1 et f(x) = cos x + x^{3} sin (\frac{1}{x}) pour x ≠ 0.

a. Quel théorème permet de déduire l’existence de DL_{n} de l’existence de dérivées n^{ièmes} ?

b. Montrer que si une fonction admet un développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0, alors elle est

dérivable en 0. c. Montrer que f admet un développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0, mais n’est pas dérivable deux

fois en 0.

9) On pose f(x) = x^{2} cos (\frac{1}{x}) pour x ≠ 0.

a. Montrer que l’on peut prolonger f par continuité en 0 et que f est alors dérivable sur ℝ entier.

b. Montrer que f admet un DL_{1}(0), mais que f′ n’admet pas de DL_{0}(0).

10) Donner le DL_{n}(0) des fonctions suivantes :

f(x) = e^{x^{2}}, g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} .

11) On se propose de calculer le DL_{4}(0) de f : x ↦ (1 + x)^{x}.

a. Effectuer le DL_{4}(0) de u(x) = x Log(1 + x) et vérifier que lim_{x→0} u(x) = 0.

b. Calculer le DL_{4}(0) de u(x)^{2}, u(x)^{3} et u(x)^{4}.

c. Déduire de ce qui précède le DL_{4}(0) de f(x) = e^{u(x)}.

d. Calculer le DL_{3}(0) de g(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}.

12) Calculer le DL_{3}(0) de f : x ↦ e^{(e^{x})}.

13) Calculer le DL_{4}(0) de f : x ↦ \frac{1}{cos x}. On utilisera le DL_{2}(0) de \frac{1}{1−u}. Quel est le DL_{5}(0) de f ?

14) Calculer les limites en 0 des fonctions définies comme suit :

f(x) = \frac{2x^{3} + x^{4}}{3x^{3} + x^{5}} ,  g(x) = \frac{x^{4} + x^{5} + x^{6}}{x^{2} − 2x^{3} + 3x^{4}} ,  h(x) = \frac{x(1 + cos x) − 2 tan x}{2x − sin x − tan x},
i(x) = \frac{3^{x} − 2^{x}}{x},  j(x) = \frac{x − sin x}{(tan x)^{3}},  k(x) = \frac{e^{sin x} − cos x}{cos(sin x) − e^{x}}.

15) Déterminer les limites suivantes : lim_{x→1} \frac{Log x}{x^{3} − 1}, lim_{x→ \frac{π}{4}} \frac{cos x − sin x}{sin(x − \frac{π}{4} )}.

16) Déterminer la limite de f(x) = \frac{2}{(cos x)^{2}} + \frac{1}{Log(sin x)} quand x tend vers \frac{π}{2} .

On réduira au même dénominateur après avoir posé u = x − \frac{π}{2} .

17) Déterminer lim_{x→0} \frac{tan(sin x) − sin(tan x)}{x^{5}}.

18) On considère les fonctions suivantes :

f_{1}(x) = \sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x}, f_{2}(x) = \frac{1 + x + x^{2}}{1 − 2x + 3x^{2}} .

a. Calculer f′_{i}(0) pour i = 1, 2.

En déduire l’équation y = ax + b de la tangente au graphe de f_{i} au point d’abscisse 0. b. Écrire le DL_{3}(0) de f_{1} et le DL_{2}(0) de f_{2}. Retrouver le résultat de la question précédente.

Quelle méthode préférez-vous ? c. En utilisant le résultat de la question b, étudier le signe de f(x) − (ax + b) pour x proche de 0.

Quelle est la position du graphe de f par rapport à sa tangente au voisinage du point d’abscisse 0 ?

19) On se propose de tracer le graphe de f : x ↦ \frac{2x}{1+x^{2}} .

a. Étudier la parité et les variations de f.

b. Placer les tangentes au graphe de f aux points d’abscisses 0, 1, \sqrt{3}, 2.

c. Étudier la position du graphe par rapport à ses tangentes aux points ci-dessus.

d. Tracer l’allure du graphe de f.

20) On définit trois fonctions f_{1}, f_{2}, f_{3} en posant

f_{1}(x) = x( cos \frac{1}{x} + sin \frac{1}{x}), f_{2}(x) = (2x + 3 + \frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}} , f_{3}(x) = \sqrt[4]{16x^{4} + x^{3} + 1}.

a. Trouver trois fonctions g_{i}, i = 1, 2, 3, telles que f_{i}(x) = xg_{i}(\frac{1}{x}).

b. Donner le développement limité à trois termes en 0 des fonctions g_{i}.

c. Pour chaque fonction f_{i}, trouver des réels a, b et c tels que

f_{i}(x) − (ax + b) = \frac{1}{x}(c + φ(x)),

avec lim_{x→+∞} φ(x) = 0. Montrer que le graphe de f_{i} admet une asymptote en +∞ dont on donnera l’équation. Quelle est la position du graphe par rapport à cette asymptote ?