Université de Caen 1^{er} semestre 2006-2007 UFR de Sciences Mathématiques Licence 1 Approfondissement

FICHE D’EXERCICES N^{o} 4 Polynômes : racines, irréductibilité

On utilise les abréviations suivantes :

– DFI pour « décomposition en facteurs irréductibles » (et unitaires),

– PGCD pour « plus grand commun diviseur » (unitaire).

Exercice 1. Soit P ∈ ℝ[X] un polynôme, et R le reste de la division euclidienne de P par X^{2} + 1. a. Montrer que R(i) = P (i). b. En déduire que X^{2} + 1 divise P si et seulement si i est racine de P. c. Pour quelles valeurs de n ∈ ℕ le polynôme X^{n} + 1 est-il multiple de X^{2} + 1 ? d. Le polynôme X^{2} + X + 1 divise-t-il X^{2004} − 1 ? X^{2005} − 1 ?

Exercice 2. Soit P = X^{6} + X^{4} et Q = X^{25} − X + 1.

a. Montrer sans calcul que les racines communes de P et Q sont exactement les racines de leur PGCD.

b. Quelles sont les racines de P dans ℂ?

c. Montrer (presque) sans calcul que P et Q sont premiers entre eux.

Exercice 3. Donner la DFI dans ℝ[X] des polynômes suivants :

– P_{1} = (X^{2} + 10X + 21)(X^{2} + 7X + 13)

– P_{2} = X^{3} − 8X^{2} + 13X

– P_{3} = 2X^{3} + X^{2} − X − 2

– P_{4} = X^{4} + 2X^{2} − 3

– P_{5} = X^{4} − 6X^{2} + 25

– P_{6} = X^{4} − 16X^{2} + 100 Exercice 4. Soit P ∈ ℂ[X] un polynôme quelconque.

a. Montrer que les racines complexes de P (X) − X sont aussi racines de P (P (X)) − X.

b. En supposant que P (X) − X n’a que des racines simples, en déduire que P (X) − X / P (P (X)) − X.

c. Montrer que le polynôme Q_{1} = X^{4} + 6X^{2} − X + 12 est de la forme P (P (X)) − X avec P = X^{2} + a et a

un réel à déterminer. En déduire la DFI de Q_{1} dans ℝ[X]. d. Montrer que le résultat de la question b. est valable sans hypothèse sur l’ordre des racines de P (X) − X. e. Trouver la DFI de Q_{2} = X^{4} + X^{2}/2 − X + 5/16 dans ℝ[X].

Exercice 5. Soit P = 2X^{4} − 2X^{3} + 3X^{2} − X + 1 et Q = X^{4} − X^{3} + 3X^{2} − 2X + 2.

a. Calculer le PGCD de P et Q.

b. Trouver la DFI dans ℝ[X] de P et Q.

(Utiliser la question précédente.)

Exercice 6. Soit P = 2X^{5} + 5X^{4} + 8X^{3} + 7X^{2} + 4X + 1.

a. Calculer le PGCD de P et P′.

b. Quelles sont les racines communes à P et P′?

Quelles sont les racines multiples de P dans ℂ? c. Montrer que (X^{2} + X + 1)^{2} divise P. d. Donner la DFI de P dans ℝ[X].

Exercice 7. Soit n ∈ ℕ^{∗} et P = ∑_{k=0}^{n} \frac{X^{k}}{k!} .

a. Calculer P′ − P. b. Montrer que toutes les racines complexes de P sont simples.

Exercice 8. Soit a, b ∈ ℝ et P = X^{4} + aX^{3} + bX^{2} + aX + 1.

a. On suppose que 1 est racine de P.

Montrer que (X − 1)^{2} divise P et calculer le quotient de P par (X − 1)^{2}. b. On suppose que −1 est racine de P.

Montrer que (X + 1)^{2} divise P et calculer le quotient de P par (X + 1)^{2}.

Exercice 9. On cherche à déterminer les polynômes P ∈ ℝ[X] tels que P (X^{2} + 1) = P (X)^{2} + 1 et P (0) = 0. a. Combien valent P (1), P (2), P (5) ? b. On pose u_{0} = 0 et u_{n+1} = u_{n}^{2} + 1. Montrer que P (u_{n}) = u_{n} pour tout n ∈ ℕ. c. En déduire que P = X.

Exercice 10. On cherche à déterminer les polynômes P ∈ ℝ[X] non nuls tels que P (X^{2}) = P (X)P (X − 1). On note j la racine troisième de l’unité de partie imaginaire strictement positive.

a. Déterminer les solutions constantes du problème.

On élimine ce cas pour la suite, et on considère une racine complexe z_{0} de P. b. Montrer que z_{0}^{2} et (z_{0} + 1)^{2} sont racines de P. c. En supposant que |z_{0}| ≠ 0 et 1, montrer que P admet une infinité de racines. d. En déduire que si P est solution du problème on a |z_{0}| = 1 ou z_{0} = 0. e. En déduire qu’on a alors également |z_{0} + 1| = 1 ou z_{0} + 1 = 0. f. Montrer que si z_{0} = −1 ou 0, alors 1 est racine de P, ce qui contredit le résultat de la question précédente. g. Finalement, quelles sont les valeurs possibles pour z_{0} ?

En déduire que P peut s’écrire sous la forme λ(X − j)^{k}(X − j^{2})^{l} avec λ ∈ ℂ et k, l ∈ ℕ. h. En reportant dans l’équation de départ, montrer que les solutions du problème sont les polynômes

(X^{2} + X + 1)^{k}, avec k ∈ ℕ.

Exercice 11. Soit P ∈ ℂ[X] un polynôme tel que XP (X − 1) = (X − 2)P (X).

a. Montrer que 0 et 1 sont racines de P. b. On suppose que P admet une racine x ∈ ℂ non entière.

– Montrer que x − 1 et x + 1 sont aussi racines.

– Montrer que P admet une infinité de racines.

– En déduire que P = 0. On suppose maintenant que P est non nul — il ne peut donc pas avoir de racine non entière.

c. Montrer comme à la question précédente que 0 et 1 sont les seules racines de P. d. En déduire que P est de la forme αX^{k}(X − 1)^{l} avec α ∈ ℂ et k, l ∈ ℕ^{∗}. e. Quel est l’ensemble des polynômes P ∈ ℂ[X] tels que XP (X − 1) = (X − 2)P (X) ?