L1 Sciences, 1^{er} semestre 2007–2008 Mathématiques, Groupe E

Plan du cours

Chapitre 1. Nombres réels et fonctions

I Nombres réels

01/10

Notations : ℕ, ℤ, ℝ, ℕ^{∗}, ℝ_{+}^{∗}, ⊂, ∈.

a) Algèbre Symboles ∑ et ∏, factorielle. Identités remarquables. Racines d’un trinôme du second degré.

b) Ordre Notations max, min, | · |. Intervalles. Inégalité triangulaire. Partie entière.

II Fonctions

05/10

Notations et vocabulaire.

a) Opérations provenant de ℝ Opérations sur les fonctions. Parité, periodicité. Comparaison entre fonctions. Monotonie.

b) Opérations ensemblistes Image directe et réciproque. Composition. Fonction bijective, fonction réciproque.

III Fonctions usuelles

a) Logarithme et exponentielle

05/10 Primitive de 1/x. Produit et inverse. Log(1 + x) ≤ x. Limites de Log x, x Log x et (Log x)/x. Réciproque de Log. Dérivée. Somme et opposé. Limites de exp x, x exp x, (exp x)/x. Graphes.

b) Fonctions puissance Puissances entières sur ℝ / ℝ^{∗}, racines n^{ièmes} sur ℝ / ℝ_{+}. Définition générale sur ℝ_{+}^{∗}. Formule exp x = e^{x}. Règles de calcul. Graphes.

c) Fonctions trigonométriques

09/10 Définition, symétries, dérivées, graphes. Formules (cos x)^{2}+(sin x)^{2} = 1, (ch x)^{2}−(sh x)^{2} = 1, formules d’addition. Inégalités | sin x| ≤ |x|, | sh x| ≥ |x|. Formules d’Euler.

Chapitre 2. Étude locale des fonctions réelles

I Limites

a) Quantificateurs

09/10 Introduction aux quantificateurs, négation. Exemples : point d’accumulation d’une partie de ℝ; parties majorées, minorées, non majorées.

b) Définition Définition intuitive, définition mathématique.

c) Propriétés

15/10 Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient. Formes indéterminées. Limite d’une fonction composée. Passage à la limite dans les inégalités. Théorème des gendarmes.

d) Variantes Limites en l’infini, limites infinies. Limites à droite et à gauche. Fonctions localement égales. Partie entière.

II Continuité et dérivation

a) Continuité

19/10 Limite en un point du domaine de définition. Continuité en un point. Exemples : continuité, discontinuités de première et seconde espèce.

b) Dérivation Taux d’accroissement, dérivée. Dérivable ⇒ continue. Exemple : x ↦ \sqrt{x}. Règles de calcul.

c) Interprétation graphique de la dérivée Caractérisation de la dérivée par un DL. Interprétation graphique.

III Développements limités

a) Introduction

22/10

Idée des développements limités, aproximations du graphe de exp(sin(x)).

b) Définition Définition d’un développement limité. Unicité des coefficients. Exemple : \frac{1}{1−x}, polynômes. Développements de exp, ln(1 + x), cos, sin, (1 + x)^{α}.

c) Opérations usuelles

26/10

Troncature, somme, produit, composée, quotient. Cas des fonctions paires, impaires.

d) Formule de Taylor-Lagrange Dérivées d’ordre supérieur, fonctions de classe C^{n}. Théorème de Taylor-Young, application aux DLs. Exemples : \frac{1}{1−x}, exp.

e) Applications

29/10 Résolution de formes indéterminées, tangentes et position.

Chapitre 3. Fonctions de plusieurs variables

a) Définition

5/11 L’ensemble ℝ^{n}, équations d’hyperplans. Fonction réelle sur ℝ^{n}. Graphe. Cas des fonctions affines.

b) Dérivées partielles Définition. Exemple.

c) Interprétation géométrique

7/11

Plan tangent. Cas n = 1, n = 2. Différentielle.

d) Dérivées secondes

9/11

Fonctions dérivées partielles. Dérivées secondes. Théorème de Schwarz.

e) Extrema Extrema globaux et locaux. Condition nécessaire, points critiques.

Chapitre 4. Nombres complexes

30/11

I Forme algébrique

a) Définition Définition de ℂ, partie réelle, partie imaginaire. Opérations. Conjugué et module. Inverse.

b) Interprétation graphique Représentation graphique, affixe. Conjugaison, module, inégalité triangulaire.

c) Le trinôme du second degré Théorème de D’Alembert-Gauss (énoncé). Racines complexes d’un trinôme du second degré. Méthode de calcul des racines carrées d’un nombre complexe.

II Forme trigonométrique

3/12

a) Définition Nombres complexes de module 1, module, argument. Notation exponentielle, équation différentielle.

b) Interprétation graphique Coordonnées polaires.

c) Règles de calcul Produit, quotient, conjugué de formes exponentielles. Parties réelle, imaginaire et conjugué. Formules d’Euler.

d) Racines n^{ièmes}

7/12 Racines n^{ièmes} de l’unité. Résolution de l’équation z^{n} = a.

Chapitre 5. Systèmes linéaires

10/12

I Généralités

a) Vocabulaire Équations linéaires, systèmes linéaires, coefficients, terme constant, terme directeur, équation triviale, système homogène.

b) Solutions Ensemble des solutions dans ℝ^{n}. Systèmes équivalents. Sous-espace vectoriel dans le cas homogène. Cas général : solution particulière + système homogène associé.

II Méthode de Gauss

a) Systèmes échelonnés

12/12 Système échelonné, exemples. Résolution d’un tel système.

b) Réduction de Gauss Opérations élémentaires. Algorithme de Gauss.

Chapitre 6. Polynômes

17/12

I Généralités

a) Définition Expression linéaire (à coefficients dans K = ℝ ou ℂ) en les puissances d’une indéterminée X. Évaluation en un point du corps de base, fonction polynôme.

b) Opérations Somme, produit. K[X] est un anneau et X^{p}X^{q} = X^{p+q}. K[X] est commutatif, intègre, mais n’est pas un corps. Polynôme dérivé, cas d’un produit, d’une somme.

c) Degré Définition, deg(0) = −∞. Degré d’un produit, d’une somme. Polynôme constant. Coefficient dominant, polynôme unitaire ou normalisé.

II Arithmétique

a) Divisibilité Définition. Propriétés élémentaires : P/Q_{1} et P/Q_{2} ⇒ P/(Q_{1} + Q_{2}), P/Q et Q/R ⇒ P/R, P/Q ⇒ deg(P) ≤ deg(Q), P/Q et Q/P ⇒ Q = λP avec λ ∈ K^{∗}. Division euclidienne.

b) Plus grand commun diviseur Définition. Algorithme d’Euclide et théorème de Bézout. Polynômes premiers entre eux, exemple : X − a et X − b. Théorème de Gauss.

c) Racines

11/01 Racines et divisibilité. Ordre, racines multiples, lien avec la dérivée. Nombre maximal de racines.

d) Irréductibilité Définition. Cas des degrés ≤ 3. Cas de ℝ[X] et ℂ[X]. Lemme d’Euclide, théorème de décomposition. Forme de la DFI dans ℝ[X] et ℂ[X], lien avec les racines.