Licence 1 2007–2008 Mathématiques EM11

Interrogations

Exercice. Calculer, en fonction de l’entier n, et sous la forme la plus factorisée possible, les sommes suivantes :

∑_{k=0}^{n}(k + 1); ∑_{k=3}^{n+2}(k − 1); ∑_{k=4}^{n+1}(k − 2).

Exercice. On considère la fonction f définie par la formule f(x) = ln(x^{2} − x − 4).

a) Déterminer le domaine de définition de f.

b) Déterminer les points où f est dérivable et calculer f′.

Exercice. On considère la fonction f définie par la formule f(x) = ln(ch(x)^{2} + ch(x) − 2).

a) Donner le domaine de définition de f.

b) Montrer que f est dérivable sur son domaine de définition et calculer f′.

c) Dresser le tableau de variations de f en y faisant figurer les limites aux bornes du domaine de définition.

Exercice. On considère la fonction f définie par la formule f(x) = sh(x^{3} + 2x^{2} − 4x).

a) Dresser le tableau de variations de f en y faisant figurer les limites en ±∞.

b) Déterminer les abscisses des points où le graphe de f coupe l’axe des abscisses.

Exercice. Donner le DL_{2} de x^{3} + 3x − 1 en 0.

Exercice. On pose f(x) = e^{x} ln(x) pour x > 0.

a) Calculer le DL_{4} de f en 1.

b) En déduire la valeur de f^{(4)}(1).

Exercice. Calculer les DL suivants en 0 :

a) f(x) = ln(cos x) à l’ordre 4,

b) g(x) = \frac{e^{x}}{1 − x} à l’ordre 3.

En déduire les valeurs de f^{(4)}(0) et g^{(3)}(0). Déterminer les équations des tangentes aux graphes de f et g aux points d’abscisse 0, et la position des graphes par rapport à ces tangentes.