Université de Caen 2007-2008 UFR de Sciences L2 MASS Mathématiques EMA 43

Partiel n^{o} 4

lundi 31 mars 2008 Chaque candidat doit en début d’épreuve porter son nom dans le coin de la copie qu’il cachera par collage après la signature de la feuille d’émargement. Il devra en outre porter son numéro de place sur chacune de ses copies ou intercalaires.

durée : 2 heures Aucun document, aucune calculatrice ne sont autorisés.

Exercice 1. (4 points) On considère les sous-ensembles suivants de ℝ^{2} :

A = ([−1, 1] × [−2, 0]) ∪ (]0, 2[ ×]−1, 1[) , B = ℤ × [0, 1] ,
C = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | sin(x) ≥ cos(y)}.

1. Représenter A et B.

2. Démontrer que B et C sont fermés.

3. Démontrer que A n’est ni ouvert ni fermé.

Exercice 2. (7 points) On considère la matrice A = ( \begin{matrix}6 & 1 & 1 \\ −10 & −1 & −2 \\ −23 & −1 & −5 \end{matrix} ).

0. Vérifier que w = e^{\frac{2iπ}{3}} et \overline{w} = e^{− \frac{2iπ}{3}} sont les racines du polynôme X^{2} − X + 1 dans ℂ.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.

Donner sa décomposition en facteurs irréductibles dans ℝ[X] puis dans ℂ[X].

2. Soit D la matrice diagonale ayant 1, w et \overline{w} comme termes diagonaux.

Montrer qu’il existe une matrice inversible P ∈ M_{3}(ℂ) telle que A = P DP^{−1}.

On ne calculera ni P ni P^{−1}.

3. Montrer que A^{n} = P D^{n}P^{−1} et calculer D^{n} pour tout n.

4. Montrer qu’on a Tr(A^{n}) = 1 + 2 cos(\frac{2nπ}{3} ) pour tout n.

Dans la question 4 la notation Tr(M) désigne la trace de M. Rappelons qu’on a Tr(MN) = Tr(NM) pour toutes matrices M, N.

Exercice 3. (9 points) On considère la fonction f : ℝ^{2} → ℝ définie par la formule f(x, y) = \frac{y}{1 + x^{2}} .

1. Montrer que f est continue.

2. Représenter dans le plan les courbes d’équations y = 1 + x^{2} et y = −(1 + x^{2}).

3. Représenter sur la même figure l’ensemble f^{−1}([−1, 1]). Montrer qu’il n’est pas borné.

4. L’image réciproque d’un partie bornée par une application continue est-elle nécessairement bornée ? On considère maintenant une fonction f : ℝ^{2} → ℝ quelconque. On suppose que cette fonction est propre, c’est-à-dire qu’il existe une suite (u_{n})_{n∈ℕ^{∗}} qui tend vers +∞ et telle que

|x| ≥ n ou |y| ≥ n ⟹ f(x, y) ≥ u_{n}.

5. Soit A une partie bornée de ℝ : il existe M > 0 tel que A ⊂ [−M, M].

a. Montrer qu’il existe n ∈ ℕ^{∗} tel que u_{n} > M. On fixe un tel n pour la question suivante.

b. Montrer que pour tout (x, y) ∈ f^{−1}(A) on a |x| < n et |y| < n.

6. Montrer que l’image réciproque par f d’une partie bornée de ℝ est encore bornée.

7. Montrer que la fonction f : (x, y) ↦ ln(1 + x^{2}) + 2y^{2} est propre, avec u_{n} = ln(n).

On pourra utiliser l’inégalité t ≥ ln(t), valable pour tout t > 0.