Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Algèbre

Algèbre 2 : Diagonalisation

Exercice 1. Soit f l’application linéaire de ℝ^{3} dans ℝ^{3} définie par

f(x, y, z) = (−3x − 5y + 5z, −5x − 3y + 5z, −5x − 5y + 7z).

a. Montrer que le vecteur e′_{1} = (1, 1, 1) est vecteur propre de f. Quelle est la valeur propre associée ? b. Donner une base de Ker(f − 2Id). c. Montrer que 2 est valeur propre de f et donner une base (e′_{2}, e′_{3}) du sous-espace propre associé. d. Écrire la matrice de f dans la base canonique et dans la base (e′_{1}, e′_{2}, e′_{3}).

(On ne demande pas de vérifier que c’est effectivement une base.)

Exercice 2. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} donné dans la base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}) par

f(e_{1}) = −3e_{1} + 4e_{2} + 8e_{3}, f(e_{2}) = 2e_{1} − e_{2} − 4e_{3}, f(e_{3}) = −2e_{1} + 2e_{2} + 5e_{3}.

a. Montrer que 1 et −1 sont valeurs propres de f en déterminant une base des sous-espaces propres associés. b. Montrer que ces sous-espaces propres sont des sous-espaces supplémentaires dans ℝ^{3}. c. Soit B une base de ℝ^{3} adaptée à la décomposition ℝ^{3} = ker(f − Id) ⊕ ker(f + Id).

Écrire la matrice de f dans cette base. d. Montrer que les sous-espaces vectoriels ker(f − Id) et Im(f − Id) de ℝ^{3} sont supplémentaires.

Exercice 3. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}12 & 11 & 5 \\ −10 & −9 & −4 \\ −6 & −6 & −3 \end{matrix} ).

a. Calculer et factoriser le polynôme caractéristique de f. b. Montrer que f est diagonalisable. c. Déterminer une base de ℝ^{3} formée de vecteurs propres de f. d. Trouver une matrice inversible P ∈ GL_{3}(ℝ) telle que D = P^{−1}AP soit diagonale. e. Que vaut la matrice D?

Exercice 4. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} donné par

f(x, y, z) = (−x, x − y + z, 3x + 2z).

a. Calculer le polynôme caractéristique de f. b. Déterminer les valeurs propres de f et la dimension des sous-espaces propres associés. c. Montrer que l’endomorphisme f est diagonalisable. d. Trouver une base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de ℝ^{3} formée de vecteurs propres de f.

Exercice 5. On pose M(a) = ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ a & 1 & 1 \\ 0 & a + 1 & 3 \end{matrix} ) pour a ∈ ℝ.

a. Pour quelle valeur de a les colonnes de la matrice M(a) − 2I_{3} sont-elles liées ? b. Pour quelle valeur de a la matrice M(a) admet-elle 2 comme valeur propre ?

On se place désormais dans le cas où 2 est valeur propre de M(a).

c. Montrer que M(a) est alors diagonalisable. d. Déterminer une base de vecteurs propres de M(a).

Exercice 6. Soit f l’endomorphisme de ℂ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

( \begin{matrix}4 & −5 & 7 \\ 1 & −4 & 9 \\ −4 & 0 & 5 \end{matrix} ) .

a. Calculer le polynôme caractéristique de f. b. Montrer que l’endomorphisme f est diagonalisable.

Exercice 7. Soit n ∈ ℕ^{∗} et E = ℝ_{n}[X] = {P ∈ ℝ[X] | deg(P) ≤ n}. Pour P ∈ E on pose

f(P) = (X^{2} − 1)P′′ + (2X + 1)P′.

a. Montrer que f est un endomorphisme de E. b. Calculer le polynôme f(X^{k}). c. On considère le cas n = 3. Écrire la matrice de f dans la base (1, X, X^{2}, X^{3}). d. Toujours dans le cas n = 3, déterminer les valeurs propres de f. e. Quelles sont les valeurs propres de f dans le cas général ?

Exercice 8. Soit a un nombre réel et f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}3 & 3 & −4 \\ 4a − 2 & −2 & 3 \\ 3a + 1 & 2 & −1 \end{matrix} ) .

a. Calculer le polynôme caractéristique P de f. b. On prend a = 0.

(i) Dresser le tableau de variation de la fonction (x ↦ P (x)).

(ii) L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? c. Réaliser la même étude dans le cas a = −1. d. On prend a = \frac{1}{17}.

(i) Vérifier que 1 est racine double de P. (ii) L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

Exercice 9. Soit a ∈ ℝ fixé, et f : ℝ^{3} → ℝ^{3} l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}−1 & a^{2} & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −2 & 3 − 2a & 2 \end{matrix} ) .

a. Calculer le polynôme caractéristique de A. Vérifier qu’il ne dépend pas de a. Déterminer ses racines ainsi

que leur multiplicité. b. On considère le cas a = 0. Écrire la matrice A dans ce cas.

(i) À l’aide du théorème du rang, montrer que les sous-espaces propres de f sont des droites.

(ii) L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? c. On revient au cas général.

(i) Écrire la matrice A − I_{3}. À quelle condition sur a cette matrice est-elle de rang 1 ?

(ii) Pour quelles valeurs de a l’endomorphisme f est-il diagonalisable ? Justifier.

Exercice 10. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}3 & 3 & −5 \\ 2 & 4 & −5 \\ 2 & 3 & −4 \end{matrix} ).

a. Calculer et factoriser le polynôme caractéristique de f. b. Déterminer les valeurs propres de f et la dimension des sous-espaces propres associés. c. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? d. Déterminer une base (u_{1}, u_{2}) du sous-espace propre E_{1}. e. On pose u_{3} = (−1, 1, 0). Vérifier que (u_{1}, u_{2}, u_{3}) est une base de ℝ^{3}. f. Écrire la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}).