Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Algèbre

Algèbre 3 : Applications de la diagonalisation

Exercice 1. On considère la matrice A = ( \begin{matrix}12 & 11 & 5 \\ −10 & −9 & −4 \\ −6 & −6 & −3 \end{matrix} ).

a. Soit D la matrice diagonale ayant 0, 1 et −1 comme termes diagonaux.

Montrer qu’il existe une matrice inversible P ∈ M_{3}(ℝ) telle que A = P DP^{−1}.

On ne calculera ni P ni P^{−1}. b. Montrer qu’on a A^{n} = P D^{n}P^{−1} et calculer D^{n} pour tout n. c. Montrer sans calcul qu’on a A^{m} = A pour tout entier naturel impair m, et A^{m} = A^{2} pour tout entier

naturel pair non nul m. d. Calculer A^{n} pour tout n ∈ ℕ^{∗}, en distinguant 2 cas.

Exercice 2. On considère la matrice suivante : A = ( \begin{matrix}3 & 2 & 1 \\ −4 & −3 & −2 \\ 6 & 6 & 4 \end{matrix} ).

a. Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A.

b. Montrer que A est diagonalisable, sans rechercher de base de vecteurs propres. Soit P la matrice de changement de base de la base canonique vers une base de vecteurs propres de A. On ne cherchera pas à calculer P.

c. Donner une formule pour A^{n} en fonction de P et d’une matrice diagonale à préciser. On note Tr(M) la trace d’une matrice carrée M. Rappelons qu’on a Tr(MN) = Tr(NM) pour toutes matrices carrées M, N.

d. Calculer Tr(A^{n}) pour tout n, à l’aide des question précédentes.

Exercice 3. On considère deux suites (u_{n}), (v_{n}) définies par les valeurs u_{0} = 7, v_{0} = 4 et le système de récurrence suivant :

\{ \begin{matrix}u_{n+1} & = & 11u_{n} − 18v_{n} \\ v_{n+1} & = & 6u_{n} − 10v_{n}. \end{matrix}

On pose X_{n} = ( \begin{matrix}u_{n} \\ v_{n} \end{matrix} ) pour tout n ∈ ℕ.

a. Trouver une matrice A ∈ M_{2}(ℝ) telle que le système ci-dessus s’écrive X_{n+1} = AX_{n}.

b. Trouver une matrice P ∈ GL_{2}(ℝ) et une matrice diagonale D ∈ M_{2}(ℝ) telles que A = P DP^{−1}. On pose Y_{n} = P^{−1}X_{n} et on appelle w_{n}, x_{n} ses composantes : Y_{n} = P^{−1}X_{n} = ({w_{n} \atop x_{n}} ). Dans cet exercice on n’a pas besoin de calculer P^{−1}.

c. Déterminer w_{0} et x_{0} en résolvant un système linéaire.

d. Montrer que la suite (Y_{n}) vérifie l’équation de récurrence Y_{n+1} = DY_{n}.

En déduire deux équations de récurrence simples vérifiées par w_{n} et x_{n}. e. Calculer u_{n} et v_{n} pour tout n.

Exercice 4. Déterminer les suites (u_{n}), (v_{n}), (w_{n}) données par u_{0} = −3, v_{0} = 1, w_{0} = 0 et

\{ \begin{matrix}u_{n+1} & = & −u_{n} \\ v_{n+1} & = & u_{n} − v_{n} + w_{n} \\ w_{n+1} & = & 3u_{n} + 2w_{n}. \end{matrix}

On suivra la démarche suivante :

a. écrire le système sous forme matricielle X_{n+1} = AX_{n},

b. diagonaliser A sous la forme A = P DP^{−1}, sans calculer P^{−1},

c. écrire la relation de récurrence vérifiée par Y_{n} = P^{−1}X_{n},

d. calculer Y_{0}, puis Y_{n} pour tout n, et enfin revenir à X_{n}. On notera a_{n}, b_{n}, c_{n} les trois coordonnées du vecteur colonne Y_{n}.