Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Algèbre

Algèbre 4 : Formes quadratiques

Exercice 1. Montrer que les applications φ suivantes sont des formes bilinéaires, dire si elles sont symétriques et calculer φ(x, x) :

1. φ ((x, y, z), (x′, y′, z′)) = xx′ + 2xy′ + zz′ − 2yz′ + 2x′y

2. φ ((x, y), (x′, y′)) = 3xx′ − x′y − xy′ + yy′ Montrer que les applications q suivantes sont des formes quadratiques en calculant les formes bilinéaires associées :

1. q(x, y, z) = x^{2} + 4xy − 2yz + z^{2} 2. q(x, y) = 3x^{2} − 2xy + y^{2}

3. q(x, y, z) = 2xy − y^{2} + 5yz + 3z^{2} 4. q(x, y, z) = xy + 2xz − yz

5. q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 4z^{2} − 2xy + 2xz − 6yz

Écrire les matrices correspondantes dans la base canonique.

Exercice 2. Les formes quadratiques suivantes sont-elles positives ? définies-positives ? En donner des expressions développées.

1. q(x, y, z) = (x + 2y)^{2} + (z − y)^{2} − 5y^{2} 2. q(x, y) = 2x^{2} + (y − x)^{2}

6. q(x, y, z) = −2(x + y − z)^{2} + (y − 2z)^{2} + (2x + y)^{2} Inversement, en décomposant les formes quadratiques 3, 4 et 5 de l’exercice précédent en carrés de formes linéaires indépendantes, dire si elles sont positives ou pas.

Exercice 3. Décomposer les formes quadratiques suivantes en carrés de formes linéaires indépendantes. – q_{1} : (x, y, z) ↦ x^{2} + y^{2} + z^{2} − 4xy − 4xz − 4yz

– q_{2} : (x, y, z) ↦ 2x^{2} + 3y^{2} − z^{2} − 8xz

– q_{3} : (x, y, z) ↦ x^{2} − 3y^{2} − 2xy + 4xz

– q_{4} : (x, y, z, t) ↦ xy + xz + xt + yz + yt + zt

– q_{5} : (x, y, z, t) ↦ xy + xz + xt − yz + yt + 2zt

Exercice 4. Soit a un nombre réel, et soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = a(x^{2} + y^{2} + z^{2}) − 2xy + 2xz + 2yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

a. On suppose que a = 0. Soit D la droite de ℝ^{3} engendré par le vecteur v = (2, 2, 1).

Trouver une base de D^{⊥}. Les sous-espaces vectoriels D et D^{⊥} sont-ils supplémentaires ? b. Montrer que la forme quadratique q est définie positive si et seulement si a > 2. c. On suppose que a = 4. Soit P le plan de ℝ^{3} d’équation 9x − y + 6z = 0. Trouver une base de P^{⊥}.

Exercice 5. Pour tout nombre réel a on considère la forme quadratique q_{a} : ℝ^{3} → ℝ définie par

q_{a}(x, y, z) = a(x^{2} + y^{2}) + 2z^{2} − 2xy − 2xz + 2yz.

a. On se place dans le cas a = 1.

(i) Montrer que q_{1} est positive mais pas définie-positive. (ii) Montrer que q_{1}(x, y, z) ≥ z^{2} pour tout (x, y, z) ∈ ℝ^{3}. (iii) Trouver un vecteur v = (x, y, z) non nul tel que q_{1}(x, y, z) = 0.

b. On reprend le cas général.

(i) En utilisant la question 1b, montrer que q_{a} est définie-positive lorsque a > 1.

(ii) Calculer q_{a}(v) pour tout a, où v est le vecteur trouvé à la question 1c.

(iii) Pour quelles valeurs du paramètre a ∈ ℝ la forme quadratique q_{a} est-elle définie-positive ? c. On se place dans le cas a = 2.

La forme quadratique q_{2} est définie-positive, on munit ℝ^{3} du produit scalaire associé.

(i) Donner l’expression du produit scalaire u · u′ pour u = (x, y, z) et u′ = (x′, y′, z′) ∈ ℝ^{3}.

On note (e_{1}, e_{2}, e_{3}) la base canonique de ℝ^{3}, et P l’orthogonal de e_{3}.

(ii) Écrire l’équation de P. Donner une base de P.

(iii) Déterminer une base orthonormale de P. (iv) Déterminer le projeté orthogonal de e_{1} sur P.