Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Algèbre

Algèbre 5 : Espaces euclidiens

Exercice 1. Pour tout nombre réel a on s’intéresse à la forme quadratique q_{a} sur ℝ^{3} définie par

q_{a}(x, y, z) = x^{2} + 5y^{2} + 2z^{2} + a^{2}z^{2} + 4xy − 2ayz.

a. Montrer que q_{a} est définie-positive, pour tout a ∈ ℝ.

b. Déterminer pour tout a ∈ ℝ un vecteur directeur de l’orthogonal au plan d’équation z = 0.

Exercice 2. Soit q : ℝ^{3} → ℝ l’application définie par la formule

q(x, y, z) = x^{2} + 6y^{2} + z^{2} + 2xy + 4yz.

a. Montrer que q est une forme quadratique en donnant l’expression de la forme bilinéaire φ associée.

b. Montrer que φ est un produit scalaire sur ℝ^{3}.

Dans la suite de l’exercice on munit ℝ^{3} de ce produit scalaire. c. Calculer les quantités ∥(0, 0, 1)∥, ∥(−2, 1, −2)∥ et (0, 0, 1) · (−2, 1, 0).

Donner l’équation du plan P orthogonal au vecteur (0, −1, 2). d. Trouver une base de P, puis une base orthonormale de P. e. À l’aide des questions précédentes, et sans calcul, donner une base orthonormale de ℝ^{3}.

Exercice 3. Soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par

q(x, y, z) = x^{2} + 6y^{2} + 16z^{2} − 4xy + 6xz − 16yz.

a. Montrer que la forme bilinéaire symétrique associée à q est un produit scalaire.

b. Orthonormaliser la base canonique.

c. Donner l’équation du plan orthogonal au vecteur (0, 1, 2).

Exercice 4. Soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 4z^{2} − 2xy + 2xz − 6yz.

a. Montrer que la forme bilinéaire associée à q définit un produit scalaire sur ℝ^{3}.

Calculer les quantités suivantes : ∥(0, 0, 1)∥, ∥(3, 1, 0)∥, (3, 1, 0) · (−4, 0, 1), ∥(0, 4, 3)∥. b. Orthonormaliser la base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}).

Soit P l’orthogonal du vecteur e_{1} + e_{2}. Trouver une base orthonormale de P. c. Soit Q l’orthogonal du vecteur e_{3}.

(i) Écrire l’équation de Q.

(ii) Trouver une base de Q, puis une base orthonormale de Q.

(iii) Donner une base orthonormale (v_{1}, v_{2}, v_{3}) de (ℝ^{3}, q) telle que Q = Vect(v_{2}, v_{3}).

Exercice 5. Soit q : ℝ^{3} → ℝ la forme quadratique définie par q(x, y, z) = x^{2} + 3y^{2} + 4z^{2} − 2xy + 2xz − 6yz.

a. Montrer que la forme bilinéaire associée à q définit un produit scalaire sur ℝ^{3}.

Orthonormaliser la base canonique (e_{1}, e_{2}, e_{3}). b. Soit P le plan orthogonal au vecteur (1, 1, 0). Quel est le projeté orthogonal de e_{1} sur P ? c. Calculer les coordonnées des projetés orthogonaux de e_{2} et e_{3} sur P. d. Écrire la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P.

Est-elle symétrique ? Pourquoi ? Quelles sont ses valeurs propres ?

Exercice 6. Soit q la forme quadratique définie sur ℝ^{3} par

q(x, y, z) = x^{2} + 11y^{2} + 6z^{2} − 6xy + 2xz − 2yz pour tout vecteur (x, y, z) ∈ ℝ^{3}.

a. Montrer que la forme quadratique q est définie positive.

b. Soit P le plan de ℝ^{3} d’équation z = 0.

(i) Montrer que ℝ^{3} = P ⊕ P^{⊥}.

(ii) Quelle est la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P ?

Exercice 7. On munit ℝ^{4} du produit scalaire usuel. Soient u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4} les vecteurs de ℝ^{4} définis par

u_{1} = (2, 1, 0, 2), u_{2} = (0, 1, 0, 1), u_{3} = (2, 1, 3, 1), u_{4} = (1, 1, 1, 1).

a. Montrer que (u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}) est une base de ℝ^{4}.

b. Orthonormaliser la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}) selon le procédé de Gram-Schmidt.

c. Soit P le plan de ℝ^{4} engendré par les vecteurs u_{1} et u_{2}.

Trouver la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à P.

Exercice 8. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

a. Montrer que f est une projection dont on déterminera l’image et le noyau.

b. f est-elle une projection orthogonale pour le produit scalaire usuel sur ℝ^{3} ?

c. Montrer que la forme quadratique suivante définit un produit scalaire sur ℝ^{3} :

q(x, y, z) = x^{2} + 11y^{2} + 6z^{2} − 6xy + 2xz − 2yz.

d. Montrer que f est une projection orthogonale si on munit ℝ^{3} de ce produit scalaire.

e. Donner une autre forme quadratique q pour laquelle ce résultat reste valable.

Exercice 9. On pose E = ℝ[X]_{2} et F = ℝ[X]_{1} ⊂ E. On considère la forme bilinéaire symétrique φ : E × E → ℝ définie par

φ(P, Q) = P (0)Q(0) + P (1)Q(1) + P (2)Q(2).

a. Montrer que φ est un produit scalaire.

b. Orthonormaliser la base (1, X, X^{2}) relativement à φ, sans normaliser le dernier vecteur. On fixe un polynôme P ∈ E de degré 2. Soit Q ∈ F un polynôme de degré 1 qui minimise la quantité ∑_{i=0}^{2}(P (i) − Q(i))^{2}.

c. Montrer que Q est le projeté orthogonal de P sur F au sens de φ.

Cela montre en fait l’existence et l’unicité de Q. d. Exprimer les coefficients Q en fonction des valeurs de P en 0, 1 et 2. e. Calculer Q lorsque P = X^{2}.

Exercice 10. Soient n un entier positif et E = ℝ[X]_{n}. Soit φ : E × E → ℝ l’application définie par

φ(P, Q) = ∫_{0}^{1} P (t)Q(t)dt.

a. Montrer que φ définit un produit scalaire sur E.

Calculer ||X − \frac{1}{2}|| et (2X − 1) · X^{2}. b. Montrer qu’il existe un unique polynôme H ∈ E tel que

∀ P ∈ E ∫_{0}^{1} H(t)P (t)dt = P′(0).

c. On considère le cas n = 2.

(i) Orthonormaliser la base (1, X, X^{2}) selon le procédé de Gram-Schmidt.

(ii) Calculer le polynôme H.