Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Algèbre

Algèbre 6 : Endomorphismes symétriques et isométriques

Exercice 1. On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. Soit D la droite de ℝ^{3} engendrée par le vecteur v = (3, 1, 2). a. Trouver une équation puis une base orthonormale de D^{⊥}. b. Calculer les projetés orthogonaux de e_{1} = (1, 0, 0) sur D et sur D^{⊥}. c. Écrire la matrice dans la base canonique des projections orthogonales p_{D}, p_{D^{⊥}} sur D et D^{⊥}. d. Vérifier que p_{D} + p_{D^{⊥}} = Id.

Exercice 2. Soit P le sous-espace vectoriel de ℝ^{4} d’équations

\{ \begin{matrix}x + 2y − t = 0 \\ x − 3y + z + t = 0. \end{matrix}

On munit ℝ^{4} du produit scalaire usuel. Quelle est la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale de ℝ^{4} par rapport à P ? Exercice 3. Soit a un paramètre réel et f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

M = \frac{1}{3} ( \begin{matrix}a − 1 & −a − 2 & a − 1 \\ −a − 2 & a − 1 & 1 − a \\ a − 1 & 1 − a & a + 2 \end{matrix} ) .

a. Montrer que f est diagonalisable.

b. Calculer et factoriser le polynôme caractéristique de f.

On fera apparaître deux 0 sur la 2^{e} ligne en opérant sur les lignes et les colonnes. c. Pour quelles valeurs de a l’endomorphisme f est-il une symétrie ? d. Trouver une base de vecteurs propres pour f lorsque a = 0.

Exercice 4. Soit a un nombre réel fixé, et M la matrice suivante :

M = ( \begin{matrix}4a + 5 & 4a − 4 & 2 − 2a \\ 4a − 4 & 4a + 5 & 2 − 2a \\ 2 − 2a & 2 − 2a & a + 8 \end{matrix} ) .

On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. On considère l’endomorphisme de f : ℝ^{3} → ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est N = \frac{1}{9} M.

a. On se place dans le cas a = 0.

(i) Montrer que f est une projection orthogonale.

(ii) Déterminer une base de Ker f.

(iii) Déterminer une équation de (Ker f)^{⊥}, puis de Im f.

(iv) Donner, sans calcul mais en justifiant, le polynôme caractéristique de f. On revient au cas général.

b. Montrer sans calcul que f est diagonalisable.

c. Calculer le coefficient de M^{2} situé à l’intersection de la première ligne et de la première colonne.

d. À l’aide de la question précédente, déterminer les valeurs de a pour lesquelles f est : une projection orthogonale différente de l’identité ; une symétrie orthogonale différente de l’identité.

Exercice 5. On considère l’espace euclidien orienté usuel ℝ^{3}. Soit D la droite de ℝ^{3} engendrée (et orientée) par le vecteur v = (1, −2, 2).

a. Trouver une base orthonormée directe de ℝ^{3} dont le premier vecteur appartient à D.

b. Quelles sont les matrices dans la base canonique de (i) la symétrie orthogonale par rapport à D? (ii) la rotation d’axe D et d’angle π/2 ? (iii) la rotation d’axe D et d’angle 2π/3 ?

Exercice 6. On munit ℝ^{2} du produit scalaire usuel. Soit D la droite de ℝ^{2} d’équation x + 2y = 0. Soient p la projection orthogonale de ℝ^{2} sur D, et s la symétrie orthogonale de ℝ^{2} par rapport à D.

a. Ecrire les matrices de p et de s dans la base canonique.

b. Trouver toutes les droites Δ de ℝ^{2} telles que les droites Δ et s(Δ) sont orthogonales.

Exercice 7. Soit f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est

A = \frac{1}{3} ( \begin{matrix}2 & −2 & −1 \\ −1 & −2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

a. On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. Montrer que f est une isométrie.

b. Montrer que f a une unique valeur propre que l’on déterminera.

c. Trouver une base orthonormée (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de ℝ^{3} telle que u_{1} est vecteur propre de f.

d. Quelle est la matrice de f dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ?

e. Donner une rotation r et une symétrie orthogonale s telles que f = r ∘ s = s ∘ r.

Exercice 8. On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. On considère la droite D engendrée par le vecteur u_{1} = \frac{1}{5}(3, 0, −4).

a. Trouver une base orthonormée (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de ℝ^{3}, avec u_{2} = (0, 1, 0).

b. Donner les matrices dans la base (u_{1}, u_{2}, u_{3}) de (i) p, la projection orthogonale sur D^{⊥}; (ii) s, la symétrie orthogonale par rapport à D^{⊥}; (iii) r, une rotation d’axe D et d’angle \frac{π}{3} .

c. Donner les matrices de p, s et r dans la base canonique.

Exercice 9. Compléter la matrice suivante en une matrice de rotation

A = \frac{1}{7} ( \begin{matrix}6 & 3 & · \\ −2 & 6 & · \\ · & · & · \end{matrix} ) .

Y a-t-il plusieurs solutions ? Déterminer l’axe et le cosinus de l’angle des rotations obtenues. Exercice 10. On munit ℝ^{3} du produit scalaire usuel. On considère f l’endomorphisme de ℝ^{3} dont la matrice dans la base canonique est donnée par

M = ( \begin{matrix}2a & b & −a \\ −a & a & c \\ b & 2a & a \end{matrix} ).

a. Pour quelles valeurs de a, b et c l’application f est-elle une isométrie ?

b. On se place dans le cas où a = \frac{4}{9}, b = \frac{1}{9} et c = −\frac{7}{9}.

(i) Montrer que f est une rotation.

(ii) Déterminer son axe et le cosinus de son angle.