Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Analyse 1 : Révisions

Exercice 1.

a. Trouver l’intersection de la droite (D) d’équation x + y = 5 avec l’hyperbole (H) d’équation xy = 6.

b. Trouver l’intersection des deux ensembles

E = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 3x + 2y − 1 = 0} et F = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 2x − 5y + 4 = 0}.

c. Montrer qu’on a A ⊂ B pour les ensembles suivants :

A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y = x − 1}, B = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | (−x + 2y + 4)(3x − y + 3) ≥ 0}.

Exercice 2. Dans chacun des cas suivants, déterminer le complémentaire de A = [0 , 1] dans E :

E = ℝ, E = ℝ^{2}, E = ℝ^{3}, E = [0 , 5] et E = [0.5 , 2].

Exercice 3.

a. Donner quatre éléments de [1 , 2] × [2 , 3], puis de [0 , 1] × {4}.

b. Comment s’écrit un élément de ℝ × [0 , 1] ? de ℕ × ℝ_{+} ?

c. Représenter [1 , 2] × [3 , 4], ([1 , 3] × [2 , 4]) ∪ ([2 , 4] × [1 , 3]) et ([1 , 3] × [2 , 4]) ∩ ([2 , 4] × [1 , 3]).

Exercice 4. Rappelons que l’image directe de A ⊂ E par f : E → F est la partie suivante de F :

f(A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A y = f(x)}.

a. Que vaut f(A) dans le cas E = F = ℝ, f(x) = x^{2}, A = [−0.5 , 2] ?

b. Soit f une application de E vers F et A, B ⊂ E. Montrer que

A ⊂ B ⟹ f(A) ⊂ f(B), f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) et f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B).

c. Grâce à la fonction considérée au a, montrer que la dernière inclusion peut être stricte.

Exercice 5. Rappelons que l’image réciproque de B ⊂ F par f : E → F est la partie suivante de E :

f^{−1}(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B}.

On considère la fonction f : ℝ → ℝ, x ↦ (e^{x} − 1)^{2}.

a. Tracer le tableau de variation, puis l’allure du graphe de f.

On pourra commencer par étudier la fonction x ↦ (x − 1)^{2}. b. Déterminer f^{−1}({a}) pour tout a ∈ ℝ. c. On note I_{a} l’intervalle compris entre \frac{1}{4} et a, ouvert en \frac{1}{4} et fermé en a.

Déterminer f^{−1}(I_{a}) pour tout a ∈ ℝ.

Exercice 6. On note E(x) la partie entière de x. Démontrer que lim_{x→+∞} \frac{sin x^{2}}{E(x)} = 0.

Exercice 7. On considère la fonction f : ℝ → ℝ définie par f(x) = sin \frac{1}{x} pour x ≠ 0, et f(0) = 0. a. Déterminer f^{−1}(\{\frac{1}{2}\}). b. Trouver une suite (x_{n})_{n∈ℕ} qui décroît vers 0 et telle que f(x_{n}) = \frac{1}{2} pour tout n. c. En déduire que f n’est pas continue en 0. d. Qu’en est-il si on pose f(0) = \frac{1}{2} au lieu de 0 ?

Exercice 8. Soit a, b deux réels et f la fonction définie par f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} + ax & si & x ∈ ]−∞, −1] \\ 2x − 1 & si & x ∈ ]−1, 1[ \\ b(x^{2} − 1) & si & x ∈ [1, +∞[ \end{matrix}

a. Peut-on trouver une valeur de a pour laquelle f est continue sur ]−∞, 1[ ?

b. Peut-on trouver une valeur de b pour laquelle f est continue sur ]−1, +∞[ ?

Exercice 9. Dans les exemples ci-dessous, la fonction f peut-elle être prolongée par continuité en a? Si oui, précisez le prolongement obtenu.

f_{1} : ℝ \ \{−1\} → ℝ, x ↦ \frac{1 + x^{3}}{1 + x} en a = −1, f_{2} : ℝ \ \{−2, 2\} → ℝ, x ↦ \frac{\sqrt{7 + x} − 3}{x^{2} − 4} en a = 2,

f_{3} : ℝ^{∗} → ℝ, x ↦ \frac{tan x}{x} en a = 0, f_{4} : ℝ^{∗} → ℝ, x ↦ \frac{1 − cos 2x}{3x^{2}} en a = 0,

f_{5} : ]\frac{1}{2}, +∞[ → ℝ, x ↦ \frac{cos(πx)}{2x − 1} en a = \frac{1}{2}, f_{6} : ℝ^{∗} → ℝ, x ↦ \frac{sin x}{x^{2}} en a = 0,

f_{7} : ℝ^{∗} → ℝ, x ↦ \frac{x^{2} + |x|}{x} en a = 0, f_{8} : ℝ \ \{−3, 2\} → ℝ, x ↦ \frac{(x − 2)^{2}}{x^{2} + x − 6} en a = 2,

f_{9} : ℝ \ \{3\} → ℝ, x ↦ \{ \begin{matrix}x^{2} & si x < 3 \\ 2x + 3 & si x > 3 \end{matrix} en a = 3.

Exercice 10. Étudier la convergence de la suite (u_{n})_{n∈ℕ} de terme général u_{n} = n sin (\frac{1}{n^{2}} ). On pourra utiliser l’inégalité | sin(x)| ≤ |x|.

Exercice 11. On se propose d’étudier la suite (u_{n})_{n∈ℕ} définie par u_{0} = 1 et u_{n+1} = \frac{1}{3}u_{n} + \frac{14}{3}. a. Calculer u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}. b. Démontrer par récurrence que cette suite est croissante, majorée. c. En déduire qu’elle converge vers une limite réelle ℓ et calculer ℓ. d. Montrer que la suite (v_{n})_{n∈ℕ} définie par v_{n} = u_{n} − ℓ est géométrique. En déduire explicitement v_{n} puis u_{n}. e. Déterminer le plus petit n_{0} ∈ ℕ tel que n ≥ n_{0} ⟹ |u_{n} − 7| ≤ 10^{−3}.

Procéder à la même étude pour la suite (u_{n})_{n∈ℕ} définie par u_{0} = 2 et u_{n+1} = \frac{1}{2}u_{n} + \frac{5}{2}.