Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Analyse 2 : Topologie de ℝ

Exercice 1. Écrire les parties suivantes de ℝ et leurs complémentaires comme réunions d’intervalles : a. {x ∈ ℝ | x ≠ 0} b. {x ∈ ℝ | |x^{2} − 1| ≤ 2} c. [2, 3[ ∪ {0} d. ]−3, 4[ ∪ [2, 5[ e. ℤ ∪ ℝ_{−} f. ℝ_{+}^{∗} ∩ {x ∈ ℝ | |x − 3| > 1}

En déduire si ces sous-ensembles sont fermés, ouverts, ou si on ne peut pas conclure par cette méthode. Exercice 2. Lorsque c’est possible sans calcul, dire si les sous-ensembles suivants de ℝ sont ouverts, fermés ou ni l’un ni l’autre.

A_{1} = ⋃_{n≥2} [1 + \frac{2}{n^{2}} , 3 − \frac{1}{2n}]  A_{2} = ⋂_{n∈ℕ^{∗}} [sin (\frac{n}{n^{2} + 1}), 4]
A_{3} = ⋂_{n≥2} [3 − \frac{2}{n^{2}} , 3 + \frac{2n}{n − 1}]  A_{4} = ⋃_{n∈ℕ^{∗}} [−\frac{2}{n}, 2 + \frac{n}{n + 1}]

Exprimer A_{1}, A_{3} et A_{4} comme intervalles et conclure. Exercice 3. Exprimer comme intervalles les sous-ensembles A_{1}, A_{2}, A_{3}, B ⊂ ℝ définis par :

A_{k} = ⋃_{n∈ℕ} \{x ∈ ℝ | x ≥ sin (\frac{nπ}{k} ) \} B = ⋂_{n∈ℕ^{∗}} [cos \frac{1}{n} − sin \frac{1}{n} , cos \frac{1}{n} + sin \frac{1}{n}] .

Exercice 4. Exprimer les parties suivantes de ℝ à partir d’images réciproques de sous-ensembles plus simples : a. \{x ∈ ℝ | |x^{2} − 1| ≤ 2\} b. \{x ∈ ℝ | sin(x) ≥ \frac{1}{3}\} c. {x ∈ ℝ | ch(x) > 3 ou ch(x) < −2} d. {x ∈ ℝ | x^{3} + 3x − 1 < cos(3x)} e. \{x ∈ ℝ | exp(x) ∈ [1, 2] ou ln(x) ∈ [1, 2]\} f. \{x ∈ ℝ | sin(x) > \frac{1}{3} et cos(x) > \frac{1}{3}\} g. {x ∈ ℝ | cos(x) ≠ exp(−x)} h. ℤ

En déduire si ces sous-ensembles sont fermés, ouverts, ou si on ne peut pas conclure par cette méthode. Exercice 5. Soit E : ℝ → ℝ la fonction partie entière, et considérons

f : ℝ → ℝ, x ↦ x − E(x).

a. Tracer le graphe de f sur [−3, 3].

b. Écrire I = f^{−1}([0, \frac{1}{2}]) et J = f^{−1}([\frac{1}{2}, 1]) comme réunions infinies d’intervalles.

c. I et J sont-ils ouverts, fermés, ou ni l’un ni l’autre ? Commenter. Exercice 6. Soit f et g deux applications continues de ℝ dans ℝ. Pour tout x ∈ ℝ on pose

φ(x) = max(f(x), g(x)).

a. Montrer que pour tous a, b ∈ ℝ on a max(a, b) = \frac{1}{2}(a + b + |a − b|).

b. Montrer que la fonction φ est continue.

c. En déduire que le sous-ensemble de ℝ suivant est fermé : A = {x ≥ 0 | max(2 sin x, exp(cos x)) ∈ ℕ}.

Exercice 7. On considère les sous-ensembles suivants de ℝ :

A = ℝ^{∗}, B = [e, π[ , C = \{\frac{1}{n} | n ∈ ℕ^{∗}\}.

a. Montrer qu’ils ne sont pas fermés, en utilisant des suites. b. Donner une méthode plus rapide pour montrer que A n’est pas fermé. c. Montrer que B n’est ni ouvert ni fermé, à l’aide de suites. d. Montrer que C ∪ {0} est fermé.

On pourra écrire le complémentaire de C ∪ {0} comme réunion d’un nombre infini d’intervalles.

Exercice 8. On dit que deux réels x, y sont de même signe si on a (x > 0 et y > 0) ou (x < 0 et y < 0). On s’intéresse aux deux sous-ensembles suivants de ℝ :

A = {x ∈ ℝ | cos(x) et sin(x) sont de même signe}, B = \{x ∈ ℝ | cos(x) et sin(x\sqrt{2}) sont de même signe\}.

a. Tracer sommairement les graphes des fonctions sinus et cosinus sur [0, 2π]. b. Représenter A sur la droite réelle, entre −3π et 3π. c. Montrer que x appartient à A si et seulement si il existe un entier relatif k ∈ ℤ tel que x ∈ ]kπ, kπ + \frac{π}{2} [. d. Écrire A comme réunion d’un nombre infini d’intervalles. Montrer que A est ouvert. e. Montrer que les fonctions suivantes sont continues :

f : ℝ → ℝ, x ↦ cos(x) sin(x) et g : ℝ → ℝ, x ↦ cos(x) sin(x\sqrt{2}).

f. Exprimer A et B comme des images réciproques. Montrer que B est ouvert. g. Peut-on exprimer B comme réunion d’intervalles ? (Question subsidiaire)

Exercice 9. On se propose de montrer à l’aide de la définition que les parties de ℝ suivantes sont ouvertes :

A = ℝ \ [−1, 1] , B = ℝ \ ℤ.

a. Soit x ∈ A et r = |x| − 1.

Montrer que la boule ouverte de centre x et rayon r est incluse dans A. b. Soit x ∈ B et r = |x − E(x + \frac{1}{2})|.

Montrer que la boule ouverte de centre x et rayon r est incluse dans B. c. En déduire que A et B sont ouverts.

On n’oubliera pas de vérifier que les réels r ci-dessus ne sont pas nuls.

Exercice 10. Pour chaque n ∈ ℕ on se donne un fermé F_{n} dans ℝ. Soit X = ⋃_{n∈ℕ} F_{n} et Y = ⋂_{n∈ℕ} F_{n}.

a. Rappeler qui est toujours fermé : X? Y ? Donner un contre-exemple pour l’autre. On suppose que pour tout n, F_{n} ∩ [−n, n] = ∅. On veut montrer qu’alors X est fermé.

b. Donner au moins un exemple de (F_{n})_{n∈ℕ} pour lequel le résultat est clairement vrai. c. Rappeler une CNS sur les suites (x_{i})_{i∈ℕ} à valeurs dans X qui permet de conclure que X est fermé. d. Soit (x_{i})_{i∈ℕ} une suite dans X ayant une limite l dans ℝ.

(i) Montrer qu’il existe n > 0 tel que x_{i} ∈ [−n, n] pour tout i.

(ii) Montrer que les x_{i} se trouvent tous dans une réunion d’un nombre fini de F_{k}.

(iii) En déduire que X est fermé dans ℝ.