Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Analyse 3 : Topologie de ℝ^{2}

Exercice 1. On rappelle qu’une fonction polynômiale f : ℝ^{2} → ℝ est continue, et que la composée, la somme et le produit de deux fonctions continues sont continus. Montrer de façon détaillée que les fonctions suivantes sont continues sur ℝ^{2} :

a. f(x, y) = xy + 2x^{2}y^{2} − y^{3} b. f(x, y) = sin(x) + x^{2}

c. f(x, y) = cos(xy^{2}) + exp(2xy^{2}) d. f(x, y) = ln(2 + x^{2} + y^{2}) + exp(xy)

e. f(x, y) = cos(x) sin(y^{2})

Exercice 2. Représenter les sous-ensembles suivants de ℝ^{2} puis dire s’ils sont ouverts, fermés, ou ni l’un ni l’autre, en justifiant :

a. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1} b. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} − x^{2} = 1}

c. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} − x^{2} ≤ 1 et x^{2} + y^{2} < 2} d. ([2, 3] ∪ {0}) × [−1, 1]

e. \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≠ 0 et y = \frac{1}{x^{2}} \} f. \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 1 − xy > 0\}

g. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | sin(x^{2} + y^{2}) ≥ 0} h. ℤ × (ℝ \ ℤ)

i. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≥ 1, y ≤ 2 et x − y ≥ 0} j. {(cos t, sin t) | t ∈ ℝ}

k. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(1, 0)} l. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} + x^{2}y + xy^{2} + y^{3} − (x^{2} + y^{2}) = 0}

Montrer que le dernier ensemble est encore fermé lorsqu’on lui enlève le point (0, 0).

Exercice 3. Les sous-ensembles suivants de ℝ^{3} sont-ils ouverts, fermés, ou ni l’un ni l’autre ?

a. \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y^{2} + z^{3} > 1\} b. \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | sin(xyz) ∈ ]0, \frac{1}{2}]\}

c. {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | e^{x+y+z} ∈ ℤ < 2} d. {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | sin(x) + cos(yz) < 0} e. {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{3} > y^{2} et z ≥ 0}

Exercice 4. Pour tout n ∈ ℕ on considère le sous-ensemble H_{n} ⊂ ℝ^{2} défini comme suit :

H_{n} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y > nx}.

a. On fixe n. Montrer que H_{n} est ouvert, par deux méthodes différentes.

b. On considère Q = ⋂_{n∈ℕ} H_{n}. (i) Montrer que Q = ℝ_{−} × ℝ_{+}^{∗}. (ii) Montrer que Q n’est ni ouvert ni fermé.

Exercice 5. Soit U un ouvert de ℝ^{n}. On note C(U) = {λu | u ∈ U, λ > 0}.

a. Représenter C(U) dans les cas suivants :

U = ]1, 2[ ×]1, 2[ ; U = ]−1, 1[ ×]−1, 1[ ; U = ℝ ×]1, 2[ .

b. Montrer que C(U) est ouvert.

c. Montrer que C(U) = ℝ^{n} si et seulement si 0 ∈ U.

Exercice 6. Pour tous x, y ∈ ℝ on pose

d′(x, y) = \sqrt{|x − y|} et d′′(x, y) = \frac{|x − y|}{1 + |x − y|}.

a. Montrer que d′ et d′′ sont des distances sur ℝ.

b. Soit (x_{n}) une suite de réels et x ∈ ℝ.

Montrer que (x_{n}) converge vers x au sens de d′ ou d′′ ssi (x_{n}) converge vers x au sens usuel. c. Représenter les boules de centre 0 et rayon 1 associées aux distances d′ et d′′.

Exercice 7. Rappelons que les distances d_{1}, d_{2}, d_{∞} sur ℝ^{2} vérifient :

d_{1}((0, 0), (x, y)) = |x| + |y|, d_{2}((0, 0), (x, y)) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, d_{∞}((0, 0), (x, y)) = max(|x|, |y|).

a. Représenter les boules ouvertes de centre (0, 0) et rayon 1 associées aux distances d_{1}, d_{2} et d_{∞}. b. Démontrer les inégalités max(|s|, |t|) ≤ \sqrt{s^{2} + t^{2}} ≤ |s| + |t| ≤ 2 max(|s|, |t|) pour tous s, t ∈ ℝ. c. En déduire des inclusions entres boules ouvertes de centre (0, 0) associées à d_{1}, d_{2}, d_{∞}.

Exercice 8. On munit ℝ^{2} de la distance euclidienne. Les parties suivantes de ℝ^{2} sont-elles bornées ? compactes ?

1. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} = x(1 − x)} 2. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + xy + y^{2} < 1}

3. \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | cos(x^{2} + y^{2}) < \frac{1}{2}\} 4. \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | ∃ t ∈ [−1, 1] x = t^{2}, y = t^{3}\}

Exercice 9. On munit ℝ^{2} de la distance euclidienne. On se propose d’étudier la compacité des sous-ensembles suivants de ℝ^{2} :

A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 1 − e^{−x^{2}} ≤ y ≤ e^{−x^{2}}} et B = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | e^{−x^{2}} ≤ y ≤ 1 − e^{−x^{2}}}.

Pour cela on introduit les fonctions f_{1}, f_{2} : ℝ → ℝ définies par f_{1}(x) = e^{−x^{2}} et f_{2}(x) = 1 − e^{−x^{2}}.

1. (a) En écrivant A comme une image réciproque, montrer que A est fermé.

(b) Procéder de la même manière pour montrer que B est fermé.

2. (a) Montrer que si (x, y) ∈ A on a 0 ≤ y ≤ 1.

(b) Montrer que si (x, y) ∈ A on a x^{2} ≤ ln 2. En déduire que A est borné.

(c) Soit x_{0} un réel tel que x_{0}^{2} ≥ ln 2. En procédant comme en 2b, montrer qu’il existe un point de la forme (x_{0}, y) dans B. En déduire que B n’est pas borné.

3. (a) Les sous-ensembles A et B sont-ils compacts ?

(b) Tracer sommairement les graphes de f_{1} et f_{2}, puis l’allure de A et B. S’assurer que le dessin confirme le résultat de la question 3a.

4. (a) Montrer que la fonction g : ℝ^{2} → ℝ définie par g(x, y) = x + e^{y^{2}} est continue. (b) En déduire que l’ensemble de nombres réels suivant est borné :

X = {x + e^{y^{2}} | x, y ∈ ℝ, 1 − e^{−x^{2}} ≤ y ≤ e^{−x^{2}}}.