Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Analyse 4 : Continuité

Exercice 1. Montrer que l’application f : ℝ^{2} → ℝ définie comme suit est continue sur ℝ^{2} :

f(x, y) = \frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}}.

Exercice 2. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer que f est continue en (0, 0). On pourra commencer par montrer que |x| ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} et |y| ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

Exercice 3. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

L’application f est-elle continue en (0, 0) ? On pourra calculer f(x, x) pour x ≠ 0. Qu’en est-il si on pose f(0, 0) = \frac{1}{2} au lieu de 0 ?

Exercice 4. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer que f est continue sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}, puis sur toute droite passant par (0, 0). Faire tendre (x, y) vers (0, 0) sur la parabole d’équation y = x^{2}. L’application f est-elle continue en (0, 0) ?

Exercice 5. On munit ℝ^{2} de la norme euclidienne canonique, et ℝ de la norme usuelle. Soit n un entier positif, et soit f : ℝ^{2} ⟶ ℝ la fonction définie par :

f(x, y) = \frac{xy^{n}}{x^{2} + y^{2}} si (x, y) ≠ (0, 0) et f(0, 0) = 0.

a. Montrer que pour tous entiers p, q ∈ ℕ et tous réels x, y ∈ ℝ on a |x^{p}y^{q}| ≤ (x^{2} + y^{2})^{\frac{p+q}{2}} .

b. On suppose que n > 1. Montrer que la fonction f est continue sur ℝ^{2}.

c. On suppose que n = 1. Montrer que la fonction f n’est pas continue sur ℝ^{2} entier.

Exercice 6. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}|\frac{y}{x}| ln (1 + |\frac{x}{y}|) & si xy ≠ 0 \\ 0 & si xy = 0. \end{matrix}

a. Montrer que O = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | xy ≠ 0} est un ouvert de ℝ^{2} et que f est continue sur O.

b. Montrer que, pour tout a ≠ 0, la fonction f est continue en f(a, 0).

c. Calculer f(a, a) pour tout a. La fonction f est-elle continue en (0, 0) ?

Exercice 7. Étudier la continuité sur ℝ^{2} de l’application

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{cos(xy) − 1}{x^{2}y^{2}} & si xy ≠ 0 \\ −\frac{1}{2} & sinon. \end{matrix}