Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Analyse 5 : Différentiabilité

Exercice 1. Calculer les dérivées partielles des fonctions de ℝ^{2} dans ℝ définies par les expressions suivantes :

f_{1}(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} ;  f_{2}(x, y) = ln(x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}) ;  f_{3}(x, y) = ln(tan \frac{x}{y}) ;
f_{4}(x, y, z) = (xy)^{z};  f_{5}(x, y) = \frac{xy^{2}}{x + y} ;  f_{6}(x, y) = ln(1 + \frac{y}{x}).

Exercice 2. Soit E = ℝ_{+}^{∗} × ℝ_{+}^{∗} et f : E → ℝ une fonction de classe C^{1}. On définit une fonction g : E → ℝ en posant

g(x, y) = f(u, v), avec u = xy et v = \frac{y}{x}.

a. Montrer que g est de classe C^{1}.

b. Calculer les dérivées partielles de g en fonction de celles de f.

c. On fixe (x, y) ∈ E^{2}. Montrer qu’on a x\frac{∂g}{∂x}(x, y) = y \frac{∂g}{∂y} (x, y) si et seulement si \frac{∂f}{∂v} (xy, \frac{y}{x}) = 0.

Exercice 3. Soit f : ℝ^{3} → ℝ une application de classe C^{1} et soit g : ℝ^{3} → ℝ l’application définie par

g(x, y, z) = f(x^{2} − y^{2}, y^{2} − z^{2}, z^{2} − x^{2}).

Montrer que g est de classe C^{1} et que pour tout réel t on a

\frac{∂g}{∂x}(t, t, t) + \frac{∂g}{∂y} (t, t, t) + \frac{∂g}{∂z} (t, t, t) = 0.

Exercice 4. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par f(x, y) = |x| sin(x^{2} + y).

a. Montrer que f est continue sur ℝ^{2}.

b. En quels points de ℝ^{2} la fonction f admet-elle des dérivées partielles par rapport à x? à y?

Exercice 5. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y}{x^{4} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Montrer que f admet des dérivées partielles en (0, 0), que l’on calculera. Est-elle continue en (0, 0) ?

Exercice 6. Montrer à l’aide la définition que les applications suivantes sont différentiables en tout point :

f_{1} : (x, y) ↦ y + xy^{2}, f_{2} : (x, y, z) ↦ x^{2} + xy + z.

Expliciter la différentielle de f_{1} en (1, 0) et celle de f_{2} en (1, 0, 1).

Indication : si p et q sont deux entiers tels que p + q ≥ 2, alors lim_{(h,k)→(0,0)} \frac{h^{p}k^{q}}{∥(h, k)∥} = 0.

Exercice 7. Montrer, en calculant des dérivées partielles, que les applications suivantes sont différentiables :

f_{1}(x, y) = ln(1 + x^{2} + y^{2}), f_{2}(x, y, z) = cos(xy) + x sin(z).

Expliciter la différentielle de f_{1} en (1, 0) et celle de f_{2} en (1, 0, \frac{π}{2} ).

Exercice 8. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

Les « théorèmes généraux » montrent que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}.

a. Calculer les dérivées partielles de f sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}.

b. Montrer que f admet l’application linéaire nulle comme différentielle en (0, 0),

c. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2}.

Exercice 9. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par f(x, y) = \frac{sin(xy)}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} si (x, y) ≠ (0, 0) et f(0, 0) = 0.

a. Montrer que f est continue sur ℝ^{2}, sachant que | sin t| ≤ |t| pour tout t ∈ ℝ.

b. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}.

c. Montrer que f admet des dérivées partielles nulles en (0, 0).

d. Quelle relation vérifierait f(x, x) si f était différentiable en (0, 0) ?

Déterminer lim_{t→0} \frac{sin t}{t} et en déduire que f n’est pas différentiable en (0, 0).

Exercice 10. Pour tout réel strictement positif α on considère la fonction f_{α} : ℝ^{2} → ℝ définie comme suit :

f_{α}(x, y) = |xy|^{α} pour (x, y) ≠ (0, 0), et f(0, 0) = 0.

Notons par ailleurs h_{α} : ℝ → ℝ la fonction donnée par h_{α}(t) = |t|^{α} pour t ≠ 0 et h_{α}(0) = 0. On rappelle que h_{α} est dérivable en 0 si et seulement si α > 1.

a. On fixe α > 0. La fonction h_{α} est-elle continue en 0 ? La fonction f_{α} est-elle continue en (0, 0) ? Justifier. b. Montrer que f_{α} admet des dérivées partielles par rapport à x et y en (0, 0), pour tout α > 0.

Calculer ces dérivées partielles. c. On suppose que α > 1. Montrer que f_{α} est différentiable en (0, 0), sans revenir à la définition. d. On suppose que α > \frac{1}{2}. Montrer grâce à la définition que f_{α} est différentiable en (0, 0). e. On suppose que α ≤ \frac{1}{2}. Montrer que f_{α} n’est pas différentiable en (0, 0).

On pourra pour cela considérer le comportement de f_{α} sur la droite y = x.

Exercice 11. On pose U = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ≠ 0} et on définit une application f : ℝ^{2} → ℝ par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}y^{2} sin (\frac{x}{y}) & si (x, y) ∈ U \\ 0 & si (x, y) ∉ U. \end{matrix}

a. Montrer que U est un ouvert de ℝ^{2} et que f est de classe C^{1} sur U.

b. Montrer que f est continue sur ℝ^{2}.

c. Montrer que f a des dérivées partielles en tout point de ℝ^{2}.

d. Montrer que f est différentiable en tout point de ℝ^{2}.

e. Montrer que f n’est pas de classe C^{1} sur ℝ^{2}.

Exercice 12. Soit f la fonction de ℝ^{2} dans ℝ définie par f(x, y) = |x^{3} − y^{3}|^{2/3}.

a. Montrer que f est définie et continue sur ℝ^{2}.

b. Soit U_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} − y^{3} > 0} et U_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} − y^{3} < 0}.

(i) Montrer que U_{1} et U_{2} sont des ouverts de ℝ^{2}. (ii) Montrer que g est de classe C^{1} sur U_{1} et U_{2}.

c. Montrer que g n’est pas différentiable en (1, 1).