Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Analyse 6 : Dérivées partielles secondes

Exercice 1. Calculer les dérivées partielles secondes des fonctions des variables réelles définies par les expressions suivantes :

f_{1}(x, y) = \frac{x − y}{x + y} , f_{2}(x, y) = x^{y}, f_{3}(x, y, z) = xz^{3} + y^{2}z + xy^{4}z.

Exercice 2. Montrer que les fonctions suivantes sont harmoniques :

f : ℝ^{∗} × ℝ → ℝ, (x, y) ↦ arctan \frac{y}{x},

g : ℝ^{2} \ {(a, b)} → ℝ, (x, y) ↦ ln((x − a)^{2} + (y − b)^{2}).

Rappelons qu’on pose, pour toute fonction f de deux variables et de classe C^{2} : Δf = \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} . On dit que f est harmonique si Δf = 0.

Exercice 3. Soit g : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{2} et soit f : ℝ^{2} → ℝ^{2} l’application définie par

f(x, y) = (x^{2} + y^{2}, xy) pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

Montrer que g ∘ f est de classe C^{2} sur ℝ^{2} et calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de g ∘ f en fonction des dérivées partielles de g.

Exercice 4. Soit u : ℝ_{+}^{∗} → ℝ une fonction de classe C^{2} et soit f : ℝ^{2} \ {(0, 0)} → ℝ la fonction définie par f(x, y) = u(\sqrt{x^{2} + y^{2}}). Montrer que la fonction f est de classe C^{2} et que pour tout (x, y) ≠ (0, 0) on a l’égalité :

\frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x, y) + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x, y) = u′′(r) + \frac{1}{r}u′(r) où r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Exercice 5. Soit u : ℝ^{∗} ×]0, 2π[ → ℝ^{2} la fonction définie par u(r, θ) = (r cos θ, r sin θ). Soit f : ℝ^{2} → ℝ une application de classe C^{2} et posons F = f ∘ u.

a. Montrer que F est de classe C^{2} et calculer ses dérivées partielles en fonction de celles de f.

b. Exprimer \frac{∂f}{∂x} (r cos θ, r sin θ) et \frac{∂f}{∂y} (r cos θ, r sin θ) en fonction de \frac{∂F}{∂r} , \frac{∂F}{∂θ} , r et θ.

c. Établir l’expression suivante du laplacien en coordonnées polaires :

(Δf)(r cos θ, r sin θ) = \frac{∂^{2}F}{∂r^{2}} (r, θ) + \frac{1}{r} \frac{∂F}{∂r} (r, θ) + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}F}{∂θ^{2}} (r, θ).

d. On prend f(x, y) = x^{2} − y^{2}. Montrer que f est harmonique. Que vaut F dans ce cas ?

e. Montrer plus généralement — et directement — que les fonctions F (r, θ) = r^{k} cos(kθ) des coordonnées polaires (r, θ) sont harmoniques, pour tout k ∈ ℤ.

Exercice 6. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{(x^{2} − y^{2})^{2}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

a. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2}. b. Montrer que f est de classe C^{2} sur ℝ^{2} \ \{(0, 0)\} et calculer \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} sur cet ensemble.

c. Montrer que la dérivée partielle seconde \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) existe et la calculer. d. Déduire des questions précédentes que f n’est pas de classe C^{2} sur ℝ^{2}.

Exercice 7. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{y^{4}}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

a. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} et C^{2} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}. b. Montrer que \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) et \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0) existent et les calculer. c. f est-elle de classe C^{2} sur ℝ^{2} ?

Exercice 8. On considère l’application f : ℝ^{3} → ℝ définie comme suit :

f(x, y) = \frac{xy^{3}}{x^{2} + y^{2}} si (x, y) ≠ (0, 0), f(0, 0) = 0.

a. Calculer les dérivées partielles de f par rapport à x et y sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}. b. Montrer que f admet des dérivées partielles par rapport à x et y en (0, 0), et les calculer. c. Montrer que les dérivées partielles secondes \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0) et \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) existent, et les calculer. d. L’application f est-elle de classe C^{2} sur ℝ^{2} ?

Exercice 9. Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy(x^{2} − y^{2})}{x^{2} + y^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & si (x, y) = (0, 0). \end{matrix}

a. Montrer que f est de classe C^{1} sur ℝ^{2} et C^{2} sur ℝ^{2} \ {(0, 0)}. b. Montrer que \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) et \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0) existent et les calculer. c. f est-elle de classe C^{2} sur ℝ^{2} ?