Université de Caen 2^{e} semestre 2007-2008 UFR de Sciences Mathématiques L2 MASS Analyse

Analyse 8 : Équations aux dérivées partielles

Exercice 1. Soit E = ]−1, 1[^{2} ⊂ ℝ^{2}.

a. Soit f : E → ℝ une application de classe C^{1} telle que

∀(x, y) ∈ E \frac{∂f}{∂x} (x, y) = 1.

Montrer qu’il existe une application g : ]−1, 1[ → ℝ, de classe C^{1}, telle que f(x, y) = x + g(y) pour tout (x, y) ∈ E.

b. Déterminer toutes les applications f : E → ℝ de classe C^{1} telles que

∀(x, y) ∈ E (x^{2} + y^{2} + 1)\frac{∂f}{∂x} (x, y) + 2xf(x, y) = 1.

Exercice 2. Considérons l’équation aux dérivées partielles

\frac{∂f}{∂x} (x, y) − (x + 1)e^{x} \frac{∂f}{∂y} (x, y) = 0.  (1)

a. Soit h : ℝ → ℝ une fonction de classe C^{1}. Soit f : ℝ^{2} → ℝ la fonction définie par f(x, y) = h(y + xe^{x}).

Montrer que f est de classe C^{1} et que f est solution de (1). b. Soit f : ℝ^{2} → ℝ une fonction de classe C^{1} qui vérifie (1). Soit h : ℝ → ℝ la fonction définie par h(t) = f(0, t)

pour tout t ∈ ℝ.

(i) Montrer que la fonction h est de classe C^{1}.

(ii) Soit t ∈ ℝ. Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a h(t) = f(x, t − xe^{x}). (iii) En déduire que pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2} on a f(x, y) = h(y + xe^{x}).

c. Donner toutes les solutions de (1).

Exercice 3. Soit E = ]0, +∞[^{2}. On chercher à déterminer l’ensemble des fonctions f : E → ℝ telles que

∀(x, y) ∈ E x\frac{∂f}{∂x} (x, y) + y \frac{∂f}{∂y} (x, y) = 0.  (2)

Soit φ : E → E l’application définie par φ(u, v) = (u, \frac{u}{v}) pour tout (u, v) ∈ E. Soit f : E → ℝ une application de classe C^{1} et g = f ∘ φ : E → ℝ sa composée avec φ.

a. Montrer que g est de classe C^{1}. Calculer les dérivées partielles de g au point (u, v) en fonction de u, v et

des dérivées partielles de f. b. En déduire qu’on a, pour tout (u, v) ∈ E et (x, y) = φ(u, v) :

\frac{∂g}{∂u}(u, v) = \frac{∂f}{∂x} (x, y) + \frac{y}{x} \frac{∂f}{∂y} (x, y).

c. Montrer que f vérifie (2) si et seulement si g vérifie l’équation suivante :

∀(u, v) ∈ E \frac{∂g}{∂u}(u, v) = 0.

Quelle propriété de φ utilise-t-on ? d. Montrer que f est solution de (2) si et seulement si il existe une fonction h : ]0, +∞[ → ℝ de classe C^{1}

telle que f(x, y) = h(\frac{x}{y}) pour tout (x, y) ∈ E.

Exercice 4. Soit E = ]0, +∞[^{2} et φ : E → E l’application définie par φ(u, v) = (uv, \frac{v}{u}). Soit f : E → ℝ une application de classe C^{1} et g = f ∘ φ. Résoudre grâce à g l’équation

∀(x, y) ∈ ℝ^{2} x\frac{∂f}{∂x} (x, y) − y \frac{∂f}{∂y} (x, y) = 0.

Exercice 5. Le but de cet exercice est de chercher les fonctions f : ℝ^{2} → ℝ de classe C^{2} telles que

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} = 0.  (3)

a. Soient g et h deux fonctions de ℝ dans ℝ de classe C^{2}. Soit f : ℝ^{2} → ℝ la fonction définie par f(x, y) =

g(x) + h(y). Montrer que f est de classe C^{2} et que f est solution de (3). b. Soit f : ℝ^{2} → ℝ une fonction de classe C^{2} qui vérifie (3).

(i) Montrer qu’il existe une fonction φ : ℝ → ℝ de classe C^{1} telle que

\frac{∂f}{∂y} (x, y) = φ(y) pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

(ii) Montrer qu’il existe des fonctions g : ℝ → ℝ et h : ℝ → ℝ de classe C^{2} telles que f(x, y) = g(x)+h(y) pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.