Licence 1 2007-2008 Mathématiques EM12

Fiche d’exercices n^{o} 1

Nombres complexes

Exercice 1.

a. Calculer l’inverse de z = \frac{1}{3} + \frac{4}{5}i.

b. Résoudre l’équation (1 + i)z = 3 + i.

c. Résoudre l’équation \frac{z−4}{z} = i.

Exercice 2. Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

A = 2i(1 + 3i); B = (\frac{1}{2} + 7i)(\frac{3}{2} − \frac{5}{2}i); C = \frac{1}{2 + 3i}; D = \frac{1 + 2i}{1 + 3i}; E = \frac{(2 + i)^{2}}{1 + 5i} .

Exercice 3. Calculer le module des nombres complexes suivants :

A = \frac{1 + i}{1 − i}; B = \frac{(2 + 3i)(1 − 5i)}{(4 + i\sqrt{1}0)(\sqrt{12} − i)}; C = 1 + cos θ + i sin θ.

Exercice 4. Exprimer sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :

A = i(1 + \sqrt{3}i); B = (1 + i)^{7}; C = \frac{2i}{\sqrt{5} + i\sqrt{15}}; D = \frac{(1 + i)^{9}}{(1 − i)^{7}} ; E = (1 + i)^{2005}.

Exercice 5. Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

A = (1 + i)^{−7}(1 + 3i)^{2}; B = \frac{(3 + 4i)^{2}}{e^{\frac{7iπ}{3}}} ; C = e^{\frac{11iπ}{4}} − (1 + 2i)e^{\frac{13iπ}{6}} ; D = (1 − e^{\frac{iπ}{3}} )^{1789}.

Exercice 6. Donner, sous forme algébrique, les racines carrés des nombres complexes suivants :

A = −7; B = i; C = 3 + 4i; D = \frac{−3}{i + 1}; E = \frac{e^{\frac{3iπ}{2}}}{(3 − 2i)^{4}} .

Exercice 7. Résoudre les équations suivantes dans ℂ :

z^{2} + z + 1 = 0; z^{4} + z^{2} + 1 = 0; (1 + i)z^{2} + (3 + i)z + (1 − i) = 0;
z^{2} − (10 + 3i)z + (14 + 18i) = 0; z^{2} + (−1 + i)z − 2 + i = 0.

Exercice 8.

a. Résoudre dans ℂ l’équation Z^{2} + 8Z + 36 = 0. .

b. Résoudre dans ℂ l’équation z^{4} + 8z^{2} + 36 = 0 et placer les solutions dans le plan complexe.

Exercice 9. Résoudre dans ℂ les équations suivantes :

z^{4} = −4; z^{6} = \sqrt{2}(4 − 4i); z^{9} = −27i.

Exercice 10. On considère l’équation suivante dans ℂ : z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = 0 (E).

a. Montrer que si z ∈ ℂ \ \{0\} est solution de (E), le nombre complexe u = z + \frac{1}{z} vérifie u^{2} + u − 1 = 0 (E’). b. Résoudre (E’), puis en déduire les solutions de (E). c. Que valent cos(\frac{2π}{5} ) et sin(\frac{2π}{5} ) ? d. Comment construire un pentagone régulier à la règle et au compas ?

Exercice 11.

a. Soit x, y des réels tels que z = x + iy est de module 1.

Calculer en fonction de x et y les racines carrées de z. b. Calculer cos(\frac{π}{12}), sin(\frac{π}{12}). c. Donner une formule de calcul, par récurrence sur n, de e^{\frac{iπ}{2^{n}}}, cos(\frac{π}{2^{n}}), sin(\frac{π}{2^{n}}).

Exercice 12. Soient a et b des réels. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :

A = 1 − e^{2ia}; B = e^{ia} + e^{ib}; D = \frac{e^{ia} − 1}{e^{ia} + 1}.

Exercice 13. Soit x et y deux réels.

a. Linéariser, en utilisant les formules d’Euler, les expressions suivantes :

A(x) = cos(x) sin^{2}(x); B(x) = cos^{2}(2x) sin(y); C(x) = cos^{4}(x).

b. Pouvez-vous, en utilisant la formule d’Euler, transformer en produit l’expression : cos(x) + cos(y) ?

Exercice 14. Soit t ∈ ℝ, n ∈ ℕ^{∗}. Exprimer, sans somme, les nombres :

S = ∑_{k=1}^{n} sin(kt); C = ∑_{k=1}^{n} cos(kt).

Exercice 15. Soit a un nombre complexe de module 1, non réel, fixé. Montrer qu’on a |a − z| = |1 − az| si et seulement si z est réel.

Exercice 16. Soit a, b deux nombres complexes distincts.

a. Calculer la partie réelle de \frac{a+b}{a−b} en fonction de a et b.

b. Montrer que a et b ont même module si et seulement si il existe un réel λ ≤ 0 tel que (a + b)^{2} = λ(a − b)^{2}. c. Montrer que a est de module 1 si et seulement si il existe un réel t tel que a = \frac{ti+1}{ti−1}.

Exercice 17.

a. Soit M, M′ des points d’affixes z, z′ dans le plan complexe. Montrer que les droites (OM), (OM′) sont

perpendiculaires si et seulement si ℜ(z̄z′) = 0, parallèles si et seulement si z̄z′ = zz̄′. b. Soit A(1, 1) et B(−2, 6). Donner l’équation en coordonnée complexe de la droite (AB). c. Pour tout point M d’affixe z ≠ 0 dans le plan complexe on note P et Q les deux points dont les affixes

sont les racines carrées de z. Quel est l’ensemble des points M pour lesquels le triangle MP Q est rectangle en M ?

Exercice 18. Quel est l’ensemble des points M dont les affixes z vérifient les relations :

a. zz̄ − (1 + i)z̄ − (1 − i)z − 2 = 0 ?

b. zz̄ − (1 + 2i)z̄ − (1 − 2i)z − 2 − i = 0 ?

c. (1 − i\sqrt{3})z + (1 + i\sqrt{3})z̄ = 0 ?

d. (1 − i\sqrt{3})z + (1 + i\sqrt{3})z̄ = 2\sqrt{3} ?

Exercice 19. Interpréter géométriquement les applications M ↦ M′, correspondant aux relations suivantes entre les affixes z et z′ de M et M′ :

z′ = 2z; z′ = z − 5 + 3i; z′ = iz + 2 − 2i; z′ = (1 − i\sqrt{3})z − i.

Exercice 20. Soit P^{∗} le plan complexe privé de l’origine O, et f : P^{∗} → P^{∗} l’application donnée au niveau des affixes par la formule f(z) = \overline{(\frac{1}{z})}. Étudier l’image par f des figures suivantes :

a. D \ {O}, où D est une droite qui passe par O;

b. C \ {O}, où C est un cercle qui passe par O;

c. D, où D est une droite qui ne passe pas par O;

d. C, où C est un cercle qui ne passe pas par O.