Licence 1 2007-2008 Mathématiques EM11

Fiche d’exercices n^{o} 3

Développements limités

1) Déterminer le DL_{3}(0) des fonctions suivantes :

f(x) = \sqrt{1 + 2x}, f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x}}, f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} , f(x) = cos(x), f(x) = sin(2x^{2}).

2) Examiner la parité de la fonction f définie pour |x| < 1 par f(x) = Log \frac{1 + x}{1 − x} et calculer le DL_{n}(0) de f pour tout n ∈ ℕ.

3) Calculer les DL_{3}(0) de f : x ↦ \frac{e^{x}}{\sqrt{1 + x}}, g : x ↦ cos x sin x et h : x ↦ e^{−x} cos(3x).

4) Calculer, lorsqu’ils existent :

a. le DL_{3}(1) de (Log x)/x^{2},

b. le DL_{3}(2) de Log x,

c. le DL_{3}(3) de \sqrt{x − 3}.

5) Étudier l’existence d’un développement limité au voisinage de 0 de g : x ↦ \frac{e^{x} − \sqrt{1 + x}}{sin x − tan x}.

6) Soit f : ℝ → ℝ définie par f(0) = 1 et f(x) = cos x + x^{3} sin (\frac{1}{x}) pour x ≠ 0.

a. Quel théorème permet de déduire l’existence de DL_{n} de l’existence de dérivées n^{ièmes} ?

b. Montrer que si une fonction admet un développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0, alors elle est

dérivable en 0. c. Montrer que f admet un développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0, mais n’est pas dérivable deux

fois en 0.

7) On pose f(x) = x^{2} cos (\frac{1}{x}) pour x ≠ 0.

a. Montrer que l’on peut prolonger f par continuité en 0 et que f est alors dérivable sur ℝ entier.

b. Montrer que f admet un DL_{1}(0), mais que f′ n’admet pas de DL_{0}(0).

8) Donner le DL_{n}(0) des fonctions suivantes :

f(x) = e^{x^{2}}, g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} .

9) On se propose de calculer le DL_{4}(0) de f : x ↦ (1 + x)^{x}.

a. Effectuer le DL_{4}(0) de u(x) = x Log(1 + x) et vérifier que lim_{x→0} u(x) = 0.

b. Calculer le DL_{4}(0) de u(x)^{2}, u(x)^{3} et u(x)^{4}.

c. Déduire de ce qui précède le DL_{4}(0) de f(x) = e^{u(x)}.

d. Calculer le DL_{3}(0) de g(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}.

10) Calculer le DL_{3}(0) de f : x ↦ e^{(e^{x})}.

11) Calculer le DL_{4}(0) de f : x ↦ \frac{1}{cos x}. On utilisera le DL_{2}(0) de \frac{1}{1−u}. Quel est le DL_{5}(0) de f ?

12) Calculer par récurrence la dérivée n^{ième} de f : x ↦ \frac{1}{1 − x}, définie sur ℝ \ \{1\}. En déduire celles de g : x ↦ \frac{1}{1 + x} puis h : x ↦ \frac{1}{1 − x^{2}} . Retrouver le développement de Taylor de f à tout ordre.

13) Calculer le DL_{4}(0) de f : x ↦ \sqrt{cos(x)}. En déduire la valeur de f^{(4)}(0). Retrouver cette valeur en calculant f^{(4)}(x) pour tout x.