L1 Sciences, 1^{er} semestre 2008–2009 Mathématiques, Groupe E

Plan du cours

Chapitre 1. Nombres réels et fonctions

I Nombres réels

01/10

Notations : ℕ, ℤ, ℝ, ℕ^{∗}, ℝ_{+}^{∗}, ⊂, ∈.

a) Algèbre Symboles ∑ et ∏, factorielle. Identités remarquables. Racines d’un trinôme du second degré.

b) Ordre Notations max, min, | · |. Intervalles. Inégalité triangulaire. Partie entière.

II Fonctions

Notations et vocabulaire.

a) Algèbre

08/10 Opérations sur les fonctions. Composition. Parité, periodicité.

b) Ordre Comparaison entre fonctions. Signe du trinôme du second degré. Monotonie.

III Puissances et exponentielle

a) Logarithme et exponentielle Primitive de 1/x. Produit et inverse. Log(1 + x) ≤ x. Limites de Log x, x Log x et (Log x)/x. Réciproque de Log. Dérivée. Somme et opposé. Limites de exp x, x exp x, (exp x)/x. Graphes.

b) Fonctions puissance Puissances entières sur ℝ / ℝ^{∗}, racines n^{ièmes} sur ℝ / ℝ_{+}. Définition générale sur ℝ_{+}^{∗}. Formule exp x = e^{x}. Règles de calcul. Graphes.

Chapitre 2. Étude locale des fonctions réelles

I Limites

a) Définition

15/10

Définition intuitive, définition mathématique. Quantificateurs, propriété contraire.

b) Propriétés Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient. Limite d’une fonction composée. Passage à la limite dans les inégalités. Théorème des gendarmes.

c) Variantes Limites en l’infini, limites infinies. Formes indéterminées ou pas. Limites à droite et à gauche. Fonctions localement égales. Partie entière.

II Continuité et dérivation

a) Continuité Limite en un point du domaine de définition. Continuité en un point. Exemples : continuité, discontinuités de première et seconde espèce.

b) Dérivation Taux d’accroissement, dérivée. Théorèmes généraux et règles de calcul.

c) Interprétation graphique de la dérivée Caractérisation de la dérivée par un DL. Interprétation graphique.

III Développements limités

a) Introduction

21/10

Idée des développements limités, aproximations du graphe de exp(sin(x)).

b) Définition Définition d’un développement limité. Unicité des coefficients. Exemple : \frac{1}{1−x}.

c) Formulaire Développements de \frac{1}{1−x}, exp, ln(1 + x), cos, sin, (1 + x)^{α}.

d) Opérations usuelles

22/10

Troncature, somme, produit, composée, quotient. Cas des fonctions paires, impaires.

e) Formule de Taylor-Lagrange Dérivées d’ordre supérieur, fonctions de classe C^{n}. Théorème de Taylor-Young, application aux DLs. Exemples : \frac{1}{1−x}, exp.

Chapitre 3. Fonctions de plusieurs variables

a) Définition

5/11

L’ensemble ℝ^{2}, équations de plans. Fonction réelle sur ℝ^{2}. Graphe. Cas des fonctions affines.

b) Dérivées partielles Définition. Exemple. Équation du plan tangent.

c) Dérivées secondes Fonctions dérivées partielles. Dérivées secondes. Théorème de Schwarz.

d) Extrema Extrema globaux et locaux. Condition nécessaire, points critiques.

Chapitre 4. Systèmes linéaires

10/12

I Généralités

a) Vocabulaire Équations linéaires, systèmes linéaires, coefficients, terme constant, terme directeur, équation triviale, système homogène.

b) Solutions Ensemble des solutions dans ℝ^{n}. Systèmes équivalents. Sous-espace vectoriel dans le cas homogène. Cas général : solution particulière + système homogène associé.

II Méthode de Gauss

a) Systèmes échelonnés

12/12 Système échelonné, exemples. Résolution d’un tel système. Dimension de l’ensemble des solutions.

b) Réduction de Gauss Opérations élémentaires. Algorithme de Gauss.