Licence 1 2008–2009 CSB Maths — EM 11 Groupe E

Interrogation de cours

Durée : 30 minutes. Calculatrices, téléphones portables et documents non autorisés.

NOM :

Prénom :

Exercice 1. On pose a = 2^{12}.

a) Calculer les expressions suivantes en fonction de a :

S_{1} = ∑_{k=0}^{11} 2^{k}, S_{2} = ∑_{k=0}^{11}(−2)^{k}.

b) Comment peut-on écrire 1 + 2^{3} + 2^{6} + 2^{9} à l’aide du signe ∑?

Calculez la valeur de 1 + 2^{3} + 2^{6} + 2^{9} en fonction de a.

Exercice 2. Donner le domaine de définition et la dérivée de la fonction f définie par la formule : f(x) = \sqrt{e^{x} ln x}.

Exercice 3.

a) Résoudre dans ℝ l’inéquation x^{2} + 2x ≥ 0.

b) On rappelle que la fonction ch est définie par ch(x) = \frac{e^{x} + e^{−x}}{2} . On considère la fonction f définie sur ] − 1; +∞[ par

f(x) = ch(ln(x + 1)).

Simplifier l’expression de f(x) en utilisant la définition de la fonction ch.

c) Calculer la dérivée de f et dresser le tableau de variation de f sur ] − 1; +∞[. (On ne demande pas les limites en −1 ni en +∞.)