Licence 1 2008–2009 CSB Maths — EM 11 Groupe E

Interrogation de cours

Durée : 30 minutes. Calculatrices, téléphones portables et documents non autorisés.

Exercice 1. (3 points)

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(0) = 0, et f(x) = \frac{x^{5} + 2x^{3}}{x^{2} − 2x^{3} + 3x^{4}} pour x ≠ 0.

Montrer que f est dérivable en 0 et calculer f′(0).

Exercice 2. (5 points)

a) Donner les développements limités à l’ordre 3 en 0 des fonctions f : x ↦ e^{x} et g : x ↦ \frac{1}{1+x}.

b) Calculer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction h : x ↦ \frac{e^{2x}}{1 + x}.

Exercice 3. (3 points) On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e^{x} + 1. On note C_{f} le graphe de f.

a) Donner l’équation de la tangente à C_{f} au point d’abscisse 0.

b) Soit α un réel quelconque. Donner l’équation de la tangente à C_{f} au point d’abscisse α.

c) Démontrer que deux droites tangentes à C_{f} ne sont jamais perpendiculaires. Rappel : Deux droites d’équations y = ax + b et y = a′x + b′ sont perpendiculaires si et seulement si aa′ = −1.