Licence 1 Pré-rentrée MASS Mathématiques Septembre 2008

Fiche d’exercices n^{o} 2

Équations, inéquations

Toutes les équations et inéquations de cette fiche sont à résoudre dans l’ensemble des nombres réels.

[ Équations du premier degré ]

Exercice 1. Résoudre les équations suivantes :

(a) \frac{x}{2} + 2 = 5,  (b) \frac{x}{4} + \frac{2x}{3} = 5,  (c) 3,75 = 0,8 + 0,5 × (x − 1),

(d) 2 + \frac{1}{x + 2} = \frac{7}{x + 2}, (e) \frac{5}{x − 5} + 6 = \frac{x}{x − 5}, (f) 1 + \frac{4}{3x + 4} = \frac{−3x}{3x + 4}, (g) x + 2 = \frac{x^{2} − x − 6}{x + 1},

(h) 10x + 4 + 12 − 2x − 4x = 20 − 4 + 14x − 7 − x, (i) 4(x − 5) − (2x + 1) = 5(3 − x) + 2(x − 2),

(j) (x + 3)(x − 6) = (x + 1)(x + 7), (k) (x + 2)(x + 1) = x^{2} − x − 6.

Exercice 2. Résoudre les équations suivantes, où x est l’inconnue et a, b sont des paramètres. On discutera selon la valeur des paramètres.

(a) \frac{3x}{2} − a = x + 3a, (b) a(x − 3) = 2x + b, (c) a(x − b) = 2x + 3, (d) (b + 2)(x − 3) = 3b + 6,

(e) (a − 1)(3 − x) = x − ax,  (f) \frac{x + a}{x − a} = 1,  (g) \frac{a + x − 2}{a − x} = 1,
(h) \frac{a + 3}{a − 2} = \frac{x}{a^{2} − 4},  (i) \frac{2x + a}{x − 2} = b,  (j) \frac{ab − b + bx}{1 − a − x} = 2, (k) \frac{2}{x} + ax = (ax + 1) \frac{x − 2}{x}.

[ Inéquations du premier degré ]

Exercice 3. Résoudre les inéquations suivantes, et représenter l’ensemble des résultats sur la droite réelle :

(a) 3x − 2 < 7,  (b) x + 2 > 7x − 1,  (c) 3 − x ≤ −4,  (d) − 3x ≥ −12,

(e) 10(x + 1) < x − 4, (f) \frac{3x + 7}{5} < 2x − 1, (g) \frac{2x − 1}{−3} ≥ −1, (h) \frac{2}{x} < 4,

(i) \frac{3}{x} ≥ 6,  (j) \frac{x + 2}{x + 1} > 2,  (k) \frac{1}{x − 2} ≤ 1,  (l) \frac{x^{2}}{x − 2} ≤ x + 3,
(m) x^{2} + 4x + 4 < (x + 2)(x − 1),  (n) \frac{1}{x} ≥ \frac{1}{x + 1},  (o) \frac{x + 1}{x + 2} > \frac{x − 2}{x − 1}.

Exercice 4. Résoudre les inéquations suivantes en dessant des tableaux de signes :

(a) (3x − 5)(−2x − 4) > 0, (b) (x − 5)(x + 1) < 0, (c) (2x + 3)(5 − x)x ≤ 0,

(d) (−2x + 1)(4 + 2x)(3x − 2) ≥ 0, (e) (4x − 5)(x + 2) − (x + 2)(3x − 1) ≤ 0,

(f) x^{2} ≥ 4x,  (g) \frac{4x − 8}{x − 3} < 0,  (h) \frac{2x + 3}{x + 1} ≥ 0.

Exercice 5. Résoudre les inéquations suivantes, d’inconnue x et de paramètre a. On discutera selon la valeur du paramètre.

(a) 2x + a ≤ x − 5a, (b) ax − 3 ≤ x + 2a, (c) (a − 1)(x − a) < 0,

(d) \frac{ax + 2}{x − 1} ≤ a, (e) (x − 2a)(a + 2x) > 0.

Exercice 6. Résoudre les inéquations suivantes et représenter l’ensemble des résultats sur la droite réelle : (a) |x − 2| ≤ 4, (b) |x − 2| ≥ 1, (c) |3x + 5| > 2, (d) |2x − 1| < 3,

(e) |x − 1| ≤ |x − 3|, (f) |x − 2| > |x + 4|, (g) |x + 3| ≤ 2x, (h) |x + 1| < x − 3,

(i) \frac{x + 2}{|x − 1|} ≥ 0,  (j) \frac{x + 2}{|x − 1|} ≥ 2,  (k) |\frac{x − 3}{x − 2}| < 1,  (l) |\frac{x + 1}{x + 2}| ≥ 2,

(m) |(2x − 1)(x + 3)| > 2x^{2} + 3, (n) |(x − 1)(x + 2)| ≤ x^{2} + 2,

(o) |3x + 2| ≤ |x + 1|, (p) |x − 1| < 2 × |3 − x|.

[ Équations du second degré ] Exercice 7. Résoudre les équations suivantes :

(a) (x − 1)^{2} = 9, (b) 6x^{2} + 5x − 4 = 0, (c) x^{2} + 3x = 0, (d) x^{2} + 4x + 4 = 0,

(e) x^{2} + 3x + 8 = 0, (f) x^{2} + 2x − 3 = 0, (g) x^{3} + x = 2x^{2}, (h) x^{3} + 2x^{2} − 6x = 0,

(i) x^{4} − 8x^{2} + 15 = 0, (j) x^{4} − 5x^{2} + 6 = 0, (k) x^{−1} + x^{−2} = 6, (l) \frac{5}{x + 4} − \frac{3}{x − 2} = 4,

(m) \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x}, (n) \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x} + 1.

Exercice 8. Résoudre les équations suivantes, d’inconnue x et de paramètres a, b. On discutera selon la valeur des paramètres.

(a) x^{2} + 2ax = b^{2} − a^{2}, (b) (ax − bx)^{2} = x(b − a), (c) ax^{2} + 2ax + a + 1 = 0, (d) x + \frac{1}{x} = a.

Exercice 9. Déterminer les réels m tels que l’équation

(2m − 1)x^{2} + 2(m + 1)x + m + 3 = 0

admette deux racines réelles distinctes et inférieures ou égales à 1.

[ Inéquations du second degré ] Exercice 10. Résoudre les inéquations suivantes :

(a) x^{2} + x − 2 > 0, (b) 5x − 6 − x^{2} < 0, (c) 2x^{2} + 13x − 7 ≥ 0, (d) − 5x^{2} − 30x − 48 < 0,

(e) x^{2} − 2x + 1 ≤ 0, (f) x^{2} + 2x + 3 ≥ 0, (g) x(6 − x) ≤ 2x − 5, (h) x^{3} − 5x^{2} + 6x ≤ 0,

(i) x > \frac{1}{x},  (j) \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} < 0,  (k) \frac{x^{2} + 10x + 21}{x^{2} − 12x + 32} > 0, (l) 3x − 2 ≥ \frac{1}{x}.

Exercice 11. Résoudre les inéquations suivantes et représenter l’ensemble des solutions sur la droite réelle. (a) |x^{2} + x − 2| > 1, (b) |x^{2} + x + 1| ≤ 3, (c) |x^{2} − x − 6| ≤ 4, (d) |x + 2| + |\frac{1}{x} + 2| > 5.