Licence 1 Pré-rentrée MASS Mathématiques Septembre 2008

Fiche d’exercices n^{o} 4 Encore des équations

Exercice 1. Résoudre les systèmes triangulaires suivants :

(A) \begin{cases}2x + y & = 3 \\ y & = 1, \end{cases}  (B) \{2x − 3y = 1,  (C) \begin{cases}x − y + 2z & = 0 \\ y + z & = 1 \\ z & = −1, \end{cases}

(D) \begin{cases}3x + 2y − z & = 5 \\ y − 7z & = 3 \\ 0 & = 3, \end{cases}  (E) \begin{cases}x − 2y + z & = 1 \\ y − z & = −2, \end{cases}  (F) \{2x − y + 2z = 0,

(G) \begin{cases}x − y − z & = 0 \\ 2y + z & = 2 \\ z & = −2, \end{cases}  (H) \begin{cases}2x + y − z & = 1 \\ y − z & = 3, \end{cases}  (I) \begin{cases}x − 2y + 2z & = 0 \\ y & = 1, \end{cases}

(J) \begin{cases}2x + y − 2z − t & = 1 \\ y + 3t & = 2, \end{cases}  (K) \begin{cases}x − y + t & = 2 \\ t + z & = 0, \end{cases}  (L) \begin{cases}x + y + 3z − 2t & = −3 \\ 2y + z − t & = 1 \\ z + 2t & = 2. \end{cases}

Exercice 2. Résoudre les systèmes linéaires suivants :

(A) \begin{cases}2x + y & = 3 \\ 4x + 3y & = 7, \end{cases}  (B) \begin{cases}x − y + 2z & = 0 \\ x + 3z & = 1 \\ 2x − y + 6z & = 0, \end{cases}  (C) \begin{cases}3x + 2y − z & = 5 \\ 3x + y + 6z & = 8 \\ −3x − 13z & = 4, \end{cases}

(D) \begin{cases}x − 2y + z & = 1 \\ x + y − 2z & = −5 \\ 5x − 4y − z & = −7, \end{cases}  (E) \begin{cases}x − y − z & = 0 \\ x + y & = 2 \\ 4x − 2y − z & = −2, \end{cases}  (F) \begin{cases}2x + y − z & = 1 \\ −4x − y + z & = 1, \end{cases}

(G) \begin{cases}x − 2y + 2z & = 0 \\ 2x − 5y + 4z & = −1 \\ −x + y − 2z & = −1, \end{cases}  (H) \begin{cases}2x + y − 2z − t & = 1 \\ x + y − z + t & = \frac{3}{2} \\ −4x − y + 4z + 5t & = 0, \end{cases}  (I) \begin{cases}x + y + 3z − 2t & = −3 \\ x + 3y + 4z − 3t & = −2 \\ 2x + 4y + 8z − 3t & = −3, \end{cases}

(J) \begin{cases}2x + y & = 3 \\ 4x + 3y & = 7 \\ 2x + 3y & = 5, \end{cases}  (K) \begin{cases}2x + y & = 3 \\ 4x + 3y & = 7 \\ 6x + 5y & = 10. \end{cases}

Exercice 3. Résoudre les systèmes linéaires suivants :

(A) \begin{cases}x + 2y − 5z + 4t & = 0 \\ 2x − 3y + 2z − 3t & = 0 \\ 4x − 6y + z − 6t & = 0, \end{cases}  (B) \begin{cases}x − 3y + z & = 1 \\ 2x + y − z & = −1 \\ x + 11y − 5z & = 5, \end{cases}  (C) \begin{cases}2x + y − 2z & = 10 \\ 3x + 2y + 2t & = 1 \\ 5x + 4y + 3t & = 4, \end{cases}

(D) \begin{cases}2x − 3y + z & = 2 \\ −5x + 3y + 2z & = 1 \\ −4x + 2y + z & = 1, \end{cases}  (E) \begin{cases}x − 2y + 3z = & 4 \\ 2x + y − z & = 1 \\ 3x − y + 2z & = 1, \end{cases}  (F) \begin{cases}x + 2y + 3z & = 0 \\ x + 4y + 6z & = 0 \\ x + 8y + 9z & = 0, \end{cases}

(G) \begin{cases}x + y + z + t & = 10 \\ x − y + z + t & = 6 \\ x + y − z + t & = 4, \\ x + y + z − t & = 2, \end{cases}  (H) \begin{cases}2x − y + z − t & = 0 \\ x + 2y + 2z − t & = −5 \\ −x + 7y − z + 2t & = −9 \\ 3x + 5y − 3z + t & = −10, \end{cases}  (I) \begin{cases}x + y + z & = 1 \\ x + 2y − z & = −1 \\ x + 3z & = 3 \\ 2x + y + 4z & = 4. \end{cases}

Exercice 4. Calculer en fonction de log 2 et log 3 :

a = log(1, 5), b = log(16), c = log(\sqrt[3]{9}), d = log(2\sqrt{2}), e = log(0, 25 × e),
f = log (\frac{9}{8}) , g = log(36e^{2}), h = log(4, 5), i = log (\frac{12}{e^{\frac{4}{5}}} ) .

Exercice 5. Résoudre les équations suivantes dans ℝ :

(a) e^{x+3} = 1, (b) log(2x − 3) = 5, (c) log(2x) = 2 log(x),

(d) log(x^{2} − 1) + 2 log(2) = log(4x − 1), (e) log((x − 3)(x + 1)) = log(x^{2} − 6),

(f) (log x)^{2} + 2 log(x) − 3 = 0, (g) e^{2x} + 3e^{x} − 4 = 0,

(h) e^{3x} = 4,  (i) e^{2x} − 3 = 4e^{−2x},  (j) log(x) − 2 log(x − 4) = − log(2).

Exercice 6. Résoudre les inéquations suivantes dans ℝ :

(a) e^{2x+1} > 1, (b) log(x + 3) ≤ 0, (c) e^{x−5} > 0, (d) e^{3x} < e^{x−1},

(e) log(2 − x2) ≥ log(2x + 4), (f) e^{2x} − 5e^{x} + 6 < 0, (g) e^{2x} + e^{x} − 2 ≤ 0,

(h) e^{2x} − 3e^{x} + 2 ≥ 0, (i) 2 log(x + 1) > log(4x).

Exercice 7. Discuter le nombre de solutions réelles de l’équation suivante, suivant la valeur du paramètre m :

e^{2x} − 2e^{x} − m = 0.

Exercice 8. Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes :

(a) \sqrt{2x + 1} = x + 2, (b) \sqrt{1 − 2x} = x − 1, (c) x − \sqrt{x} − 1 = 0, (d) x − \sqrt{x − 1} − 2 = 0,

(e) \sqrt{1 − x} > 2x − 3, (f) \sqrt{x − 1} > 2x − 3, (g) \sqrt{x + 1} < \sqrt{2 − x}.