Licence 1 2008–2009 Mathématiques EM11

Fiche d’exercices n^{o} 1 Nombres réels et fonctions usuelles

Exercice 1. Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

x^{2} = 2x − 1, x^{2} + x + 1 = 0, x^{2} + 6x + 8 = 0, x^{2} + 2x − 3 = 0, x^{3} + x = 2x^{2}, x^{3} + 2x^{2} − 6x = 0,

x^{3} − 5x^{2} + 6x = 0, 2x^{3} − 3x^{2} − 17x − 12 = 0, x^{4} − x^{2} − 1 = 0, x^{4} − 8x^{2} + 15 = 0,

\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x}, \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x} + 1, x + \frac{1}{x} = 2, x + \frac{1}{x} = 1,

\sqrt{2x + 1} = x + 2, \sqrt{1 − 2x} = x − 1, x − \sqrt{x} − 1 = 0, x − \sqrt{x − 1} − 2 = 0.

Exercice 2. Déterminer les réels m tels que l’équation

(2m − 1)x^{2} + 2(m + 1)x + m + 3 = 0

admette deux racines réelles distinctes et inférieures ou égales à 1. [m ∈ ]−4, −4/5] ∪ ]1/2, 1[ ]

Exercice 3. Résoudre les équations suivantes : [±π/6 + 2πℤ, (−7π/12 + 2πℤ) ∪ (13π/60 + 2πℤ/5), {−π/4, π/12} + πℤ, {−π/6, −5π/6} + 2πℤ]

cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin (2x − \frac{π}{3} ) = sin (3x + \frac{π}{4} ),

\sqrt{3} cos(2x) − sin(2x) = 1, 2(sin x)^{2} − 3 sin x − 2 = 0.

Exercice 4. Démontrer que les inégalités suivantes sont vraies pour toute paire x, y de réels positifs. On précisera les cas d’égalité :

\sqrt{xy} ≤ \frac{x + y}{2} , x + \frac{1}{x} ≥ 2.

Exercice 5. Montrer que || sin x| − | sin y|| ≤ | sin(x + y)| ≤ | sin x| + | sin y| pour tous x, y ∈ ℝ.

Exercice 6. Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

3x + 1 > 1 − 2x, x^{2} − 2x + 1 ≥ 0, x^{2} + 6x + 8 ≤ 0, x^{3} − 5x^{2} + 6x ≤ 0,

\frac{x^{2} − 9}{2x + 1} ≥ 0, \frac{2x − 10}{x + 1} ≥ x − 5x − 2, \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} < 0,

\sqrt{1 − x} > 2x − 3, \sqrt{x − 1} > 2x − 3, \sqrt{x + 1} < \sqrt{2 − x}, log(2 − x^{2}) ≥ 0,

|x + 1| < |2 − x|, |x^{2} + x + 1| ≤ 3, |x + 2| + |\frac{1}{x} + 2| > 5, |x + 2| + |\frac{1}{x} + 2| > 0.

Exercice 7. Montrer, en le calculant, que le nombre (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} est un entier. [2]

Exercice 8. Simplifier les expressions : \begin{matrix}\sqrt[3]{2} & \sqrt[5]{64^{3}} & \sqrt[4]{8^{5}} \\ \sqrt[5]{16} & \sqrt[3]{16^{4}} & \sqrt[20]{2048} \end{matrix}, \begin{matrix}\sqrt[5]{4} & \sqrt{8} & ( & \sqrt[3]{\sqrt[5]{4}} & ) & 2 \\ ^{3} & \sqrt{\sqrt{2}} \end{matrix} . [2, 4]

Exercice 9. Simpifier les expressions suivantes, après avoir précisé pour quelles valeurs de x elles sont définies.

Log(Log(e^{e^{x}})), x^{\frac{Log(Log x)}{Log x}} ,
ch(Log(x + \sqrt{x^{2} − 1})), sh(Log(x + \sqrt{x^{2} + 1})).

[x, Log x, x, x]

Exercice 10. Montrer qu’on a (ch x + sh x)^{n} = ch nx + sh nx pour tout x ∈ ℝ et tout n ∈ ℕ.

Exercice 11. Montrer que pour tout entier p et tout réel x, on a E(x + p) = E(x) + p.

Exercice 12. Trouver tous les réels x tels que E(\sqrt{x}) = \sqrt{E(x)}. [x ∈ ⋃_{k∈ℕ} [k^{2}, k^{2} + 1[] Résoudre dans ℝ l’équation E(\sqrt{x^{2} + 1}) = 2. [x ∈ ]−\sqrt{8}, −\sqrt{3}] ∪ [\sqrt{3}, \sqrt{8}[]

Exercice 13. Calculer les sommes suivantes : ∑_{k=1}^{n}(k + 3), ∑_{k=0}^{n}(k + 2), ∑_{k=3}^{n}(k + 1).

Exercice 14.

a) Calculer la « somme télescopique » ∑_{k=1}^{n}((k + 1)^{3} − k^{3}) pour tout n.

b) Développer et simplifier l’expression (k + 1)^{3} − k^{3}.

c) En utilisant a) et b), exprimer la valeur de ∑_{k=1}^{n} k^{2} sans utiliser le symbole somme.

d) Exprimer sans utiliser le symbole somme la valeur des sommes :

∑_{k=1}^{n}(k + 1)^{2}, ∑_{k=1}^{n}(k + 1)(k − 1).

e) Imaginer une méthode pour exprimer la valeur de ∑_{k=1}^{n} k^{3} sans utiliser le symbole somme. Effectuer le calcul.

Exercice 15.

a) On fixe un entier n. Résoudre dans ℝ l’équation : ∑_{k=1}^{n}(x − k) = 0.

b) Même question avec l’équation : 6 ∑_{k=1}^{n}(x−k)^{2} = n(n+1)(2n+1). On utilisera le résultat de l’exercice 14.

Exercice 16. Prouver que, pour tout entier n ≥ 1, on a : ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = 1 − \frac{1}{n + 1}.

(On pourra calculer \frac{1}{k} − \frac{1}{k+1} pour tout k.)

Exercice 17. Démontrer que ∑_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{1 − q^{n+1}}{1 − q} pour q ≠ 1, et calculer cette somme lorsque q = 1.

Exercice 18.

a) Montrer que pour tous x ∈ [1, +∞[ et n ∈ ℕ \ {0, 1} on a x^{n} − 1 ≥ n(x − 1). L’inégalité est-elle toujours stricte ? On pourra utiliser l’exercice 17.

b) Soit n ≥ 2 un entier. Prouver qu’on a :

(\frac{3}{2})^{n+1} > \frac{1 + 3 + 3^{2} + ... + 3^{n}}{1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n}} > \frac{1}{3}(\frac{3}{2})^{n+1}.

Exercice 19. Pour tous n ∈ ℕ^{∗}, x ∈ ℝ, on pose S_{n}(x) = 1 + 2x + 3x^{2} + ⋯ + nx^{n−1} = ∑_{k=1}^{n} kx^{k−1}.

a) Prouver qu’on a (1 − x)S_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n−1} x^{k} − nx^{n} pour tous x, n.

b) En déduire l’expression de S_{n}(x) en fonction de n et x, sans symbole somme.

On pourra distinguer les cas x = 1 et x ≠ 1.

c) Imaginer de même une méthode pour exprimer directement en fonction de n et x la somme :

T_{n}(x) = 1 + 4x + 9x^{2} + ... + n^{2}x^{n−1} = ∑_{k=1}^{n} k^{2}x^{k−1}.

d) Voyez-vous un rapport entre les formules trouvées et des calculs de dérivées de fonctions de ℝ dans ℝ?

Exercice 20. Exprimer les produits suivants sans le signe produit, n étant un entier naturel non nul :

∏_{k=1}^{n} 2, ∏_{k=1}^{n} 2^{k}, ∏_{k=1}^{n}(n + 1 − k), ∏_{k=1}^{2n}(n + 1 − k), ∏_{k=1}^{n} (1 − \frac{1}{k^{2}} ) .

Exercice 21.

a) Résoudre dans ℝ l’inéquation x(x + 1)(x + 2)(x + 3) > 0.

b) Même question avec l’inéquation : ∏_{k=1}^{n}(x − k) > 0, n étant un entier naturel fixé.

Le réel −\sqrt{π} est-il solution ?

Exercice 22. Étudier les ensembles de définition des fonctions définies par les formules suivantes :

f(x) = \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{2 − x} \end{matrix}, f(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x − 1}}, f(x) = \begin{matrix}√ & \overline{x + 1} \\ √ & \overline{x − 1} \end{matrix},

f(x) = log(x + 1) − log(x), f(x) = log (\frac{x + 1}{x}),

f(x) = \frac{1}{x − E(x)}, f(x) = \sqrt{x − E(x) − \frac{1}{2}}.

Exercice 23. Dire, parmi les fonctions suivantes, celles qui sont paires ou impaires.

f(x) = x^{3} +x, f(x) = x^{3} +x+1, f(x) = C (constante), f = id, f(x) = E(x), f(x) = (x−E(x)−1/2)^{2}.

Montrer que la dernière de ces fonctions est périodique.

Exercice 24. Exprimer le plus simplement possible les composées de fonctions suivantes, en mettant les polynômes sous forme développée :

a) f ∘ g et g ∘ f avec f(x) = x^{3}, g(x) = 2 − x;

b) f ∘ f, f ∘ (f ∘ f), (f ∘ f) ∘ f, f ∘ (f ∘ (f ∘ f)) avec f(x) = −\frac{1}{x+1}.

c) f ∘ g et g ∘ f avec g(x) = E(x), f(x) = x − E(x).

Exercice 25.

a) Si f(x) = ax + b et g(x) = a′x + b′ sont deux fonctions affines, montrer que f ∘ g est affine et calculer sa pente et son ordonnée à l’origine en fonction de a, a′, b, b′.

b) Trouver toutes les fonctions affines f telles que f ∘ f = id.

Existe-t-il d’autres fonctions ayant cette propriété ?

c) Montrer que les seules fonctions affines f telles que f ∘E = E∘f sont celles mises en évidence à l’exercice 11.

Exercice 26. Soit x < y deux nombres réels, et f : ]0, +∞[ → ℝ la fonction définie par f(t) = \frac{x + ty}{1 + t}. Étudier la monotonie de f (sans calculer de dérivée). [f(t) − f(s) = (t − s)(y − x)/(1 + t)(1 + s)]

Exercice 27. Soit f et g deux fonctions réelles définies sur un intervalle I ⊂ ℝ. Pour tout x ∈ I on pose

M(x) = max(f(x), g(x)) et m(x) = min(f(x), g(x)).

Montrer que les fonctions M et m sont croissantes si c’est le cas de f et de g.

Exercice 28. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

f(x) = x^{5}, f(x) = sin(x) cos(x), f(x) = xe^{x}, f(x) = \frac{1}{x^{2}} , f(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}, f(x) = \frac{1}{log x}.

Exercice 29. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

f(x) = (sin x)^{3}, f(x) = tan(5x), f(x) = e^{x^{2}},

f(x) = 1 − 2(cos x)^{2}, f(x) = log(3x), f(x) = log(sin(5x)).

Exercice 30. Étudier le sens de variation des fonctions suivantes :

f(x) = x^{3} + x^{2} + 1 sur ℝ_{+}, f(x) = \frac{1}{x} − \frac{1}{x + 1} sur ℝ \ \{−1, 0\}, f(x) = \sqrt{x^{2} + 1} sur ℝ.

Exercice 31. Étudier et tracer le graphe des fonctions :

f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} − 1}, f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2} − 1}, f(x) = \sqrt{x^{2} − 1}.

Exercice 32. Fonctions trigonométriques hyperboliques. On pose pour tout x réel :

ch(x) = \frac{e^{x} + e^{−x}}{2} et sh(x) = \frac{e^{x} − e^{−x}}{2} .

a) Étudier les fonctions ch et sh, et tracer leur graphe.

b) Montrer que sh est bijective.

c) Résoudre l’équation sh(x) = y d’inconnue x, et en déduire l’expression de la fonction réciproque de sh.