Licence 1 2008–2009 Mathématiques EM11

Fiche d’exercices n^{o} 2 Limites, continuité et dérivabilité

Exercice 1. Calculer les limites suivantes en factorisant les termes dominants :

l = lim_{x→0} \frac{27x^{3} + 2x + 3}{x^{18} − 14x + 2},  m = lim_{x→0} \frac{−10x^{5} + 2x^{3}}{15x^{4} + 20x^{2}} ,  n = lim_{x→0^{+}} \frac{2x^{9} + x^{4} − 2x^{3}}{x^{17} − x^{7} + x^{3}} ,
o = lim_{x→0^{−}} \frac{2x^{9} − x^{4} − 2x^{2}}{x^{7} − 3x^{4} + 2x^{3}} ,  p = lim_{x→1} \frac{(x − 1)^{3} + 2}{x^{2} − 4x + 4},  q = lim_{x→1^{+}} \frac{(x − 1)^{4} + x − 1}{(x − 1)^{3} + (x − 1)^{2}} ,

r = lim_{x→1} \frac{(x − 1)^{3} + 2(x − 1)^{2}}{(x − 1)^{2} + (x − 1)^{3}} , s = lim_{x→1} \frac{x^{2} − 2x + 1}{3x − 3}, t = lim_{x→+∞} \frac{x^{4} + x^{2} + 1}{x^{2} + x + 1},

u = lim_{x→−∞} \frac{(x − 1)^{3} + 2}{x^{2} − 4x + 4},  v = lim_{x→−∞} \frac{|x|x^{4} + x^{3} − 16x}{1 − x − 12x^{5}},  w = lim_{x→+∞} \frac{x^{4} + 2x^{3} + 4x^{2} + 8x}{1 − x − 12x^{5}}.

Exercice 2. Calculer les limites suivantes en se ramenant en 0 :

l = lim_{x→1} \frac{x^{2} − 3x + 2}{x^{2} + 2x − 3},  m = lim_{x→2} \frac{x^{2} − x − 2}{x^{3} − 4x},  n = lim_{x→1} \frac{x^{3} − x^{2} − x + 1}{x^{3} + 3x^{2} − 4},

o = lim_{x→−1} \frac{x^{4} + 5x^{3} + 9x^{2} + 7x + 2}{x^{4} + 2x^{3} − 2x − 1}, p = lim_{x→−2} \frac{x^{3} + 3x^{2} − 4}{(x^{2} + 4x + 4)\sqrt{2 − x}}, q = lim_{x→1} \frac{(x − 1) sin(πx)}{x^{2} + 4x − 5},

r = lim_{x→−1^{+}} \frac{(x + 1)\sqrt{x^{2} + 4x + 3}}{x^{3} − 3x − 2}, s = lim_{x→0} \frac{cos^{2} x + cos x − 2}{sin^{2} x}.

Exercice 3. Étudier si les limites suivantes existent, et si oui les calculer :

l = lim_{x→1} \frac{(\sqrt[3]{x} − 1)(x^{3} + 1)}{x^{3}(x^{3} − 1)}, m = lim_{x→+∞}(\sqrt{x + 1} − \sqrt{x}), n = lim_{x→+∞}((x + 1)^{2} − x^{2}), o = lim_{x→+∞} \frac{x^{a} + 1}{x^{b} + x},

p = lim_{x→0} \frac{x(1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}(1 + x)},  q = lim_{x→0}(x^{−a} − x^{−b}),  r = lim_{x→+∞}(\sqrt{x^{a} + x} − \sqrt{x^{b} + 1}).

On discutera le cas échéant suivant la valeur des paramètres a, b ∈ ℕ \ {0, 1}.

Exercice 4. Soit f : x ↦ x^{α} (α ∈ ℝ, x > 0).

a) Pour quelles valeurs de α a-t-on lim_{x→+∞} f(2x) − f(x) = 0 ?

b) Pour quelles valeurs de α a-t-on lim_{x→+∞} f(x + 1) − f(x) = 0 ?

(On pourra faire apparaître la dérivée de f en 1.)

Exercice 5. Montrer que lim_{x→+∞} \frac{E(x)}{x} = 1.

Exercice 6. Soit f une fonction, x_{0}, l des réels. On suppose que lim_{x→x_{0}} f(x) = l. Montrer que si l ∉ ℤ, on a lim_{x→x_{0}} E ∘ f(x) = E(l). Que se passe-t-il si l ∈ ℤ?

Exercice 7. Soit f : ℝ → ℝ_{+} une fonction, x_{0} ∈ ℝ et l ∈ ℝ. Montrer, en utilisant la définition des limites, que

lim_{x→x_{0}} f(x) = l ⟹ lim_{x→x_{0}} \sqrt{f(x)} = \sqrt{l}.

Exercice 8. Dans cet exercice on considère des fonctions définies sur ℝ entier.

a) Trouver toutes les fonctions périodiques qui admettent une limite en +∞.

b) Trouver toutes les fonctions vérifiant f(x) = f(2x) pour tout x et qui admettent une limite finie en 0.

Exercice 9. Soit f : ℝ → ℝ, et x_{0} ∈ ℝ.

a) À l’aide la définition d’une limite finie, écrire ce que signifie la phrase suivante : « f n’admet pas de limite finie en x_{0} ».

b) Soit ε_{0} > 0. Montrer que la propriété suivante, si elle est vraie, interdit à f d’avoir une limite finie en x_{0} : « Pour tous a, b tels que a < x_{0} < b, il existe x_{1}, x_{2} ∈ ]a, b[ tels que |f(x_{1}) − f(x_{2})| > ε_{0} ».

c) On suppose que lim_{x→x_{0}^{+}} f(x) et lim_{x→x_{0}^{−}} f(x) existent.

Montrer que lim_{x→x_{0}} f(x) existe si et seulement si lim_{x→x_{0}^{+}} f(x) = lim_{x→x_{0}^{−}} f(x).

d) Soit f(x) = sin \frac{1}{x} si x ≠ 0 et f(0) = 0. Montrer que f n’admet pas de limite en 0.

e) Soit f(x) = E(x). Montrer que f ne possède pas de limite en 0. Étudier la limite de E(x^{2}) en 0.

Exercice 10. Pour chacune des fonctions suivantes, vérifier que le taux d’accroissement T (x, y) entre deux réels distincts x et y est donné par l’expression proposée :

a) pour f(x) = x^{3}, T (x, y) = x^{2} + xy + y^{2} ;

b) pour f(x) = \frac{1}{x}, T (x, y) = −\frac{1}{xy} ;

c) pour f(x) = \sqrt{x}, T (x, y) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}. Soit x_{0} ∈ ℝ. Utiliser les calculs précédents et la définition de la dérivée pour retrouver la valeur de f′(x_{0}). Pouvez-vous généraliser ces résultats au cas de f(x) = \sqrt[n]{x}?

Exercice 11. Posons f(x) = x^{x+x^{−1}} pour x > 0 et f(0) = 0. La fonction f ainsi définie sur ℝ_{+} est-elle continue ? dérivable ? Sa dérivée est-elle continue ? (La dernière question est assez calculatoire.)

Exercice 12. Rappelons que l’on note E la fonction « partie entière ». Les fonctions suivantes sont-elles dérivables en 1 ?

– f(x) = E(x)^{2}

– g(x) = (x − 1)E(x)

– h(x) = (x − 1)^{2}E(x)

Exercice 13. On pose f(x) = (x − E(x)) sin \frac{πx}{2} pour tout x ∈ ℝ.

a) Montrer que f est périodique et en déterminer une période.

b) Déterminer l’ensemble des entiers n tels que f est continue en n.

c) En quels entiers f est-elle dérivable ?

Exercice 14. Soit f : ℝ → ℝ une fonction dérivable en 0 telle que f(0) = 0 et f′(0) = 2.

a) Montrer que \frac{f(sin x)}{x} a une limite quand x tend vers 0 et calculer cette limite.

b) Soit n un entier naturel, montrer que lim_{x→1} \frac{f(x^{n}−1)−f(x−1)}{x−1} existe et la calculer.

c) Montrer que lim_{x→0} \frac{f(2x)^{2}−f(3x^{2})}{x^{2}} existe et la calculer.

Rappel. On dit que les graphes de deux fonctions sont tangents en un point s’ils se coupent en ce point et y ont la même tangente.

Exercice 15. On rappelle que pour tout x ∈ ℝ_{+}^{∗} \ {1} on a log x < x − 1. On pose u(x) = x^{e} et v(x) = e^{x} pour x > 0.

a) Comparer u et v sur ℝ_{+}^{∗}. (On pourra prendre le log puis poser y = x/e.)

b) Montrer que les graphes de u et v sont tangents en un unique point.

c) Représenter ces graphes et leur tangente commune sur un dessin.

Exercice 16. Soit P la parabole d’équation y = x^{2}.

a) Montrer que la droite d’équation y = ax + b est tangente à P si et seulement si 4b + a^{2} = 0.

b) Soit D_{1} et D_{2} deux droites tangentes à P de pentes a_{1} ≠ a_{2}.

Déterminer en fonction de a_{1} et a_{2} les coordonnées du point d’intersection de D_{1} et D_{2}.

c) Montrer que deux tangentes à P sont perpendiculaires ssi elles se coupent sur la droite y = −1/4.