Licence 1 2008–2009 Mathématiques EM11

Fiche d’exercices n^{o} 3 Développements limités et applications

Notation. Dans cette feuille la notation « DL_{n}(a) » signifie « développement limité à l’ordre n en a ».

[Utilisation du formulaire ] Exercice 1. Déterminer le DL_{3}(0) des fonctions suivantes :

f(x) = \sqrt{1 + 2x}, g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x}}, h(x) = \frac{x}{1 + x^{2}} , i(x) = cos(x), j(x) = sin(2x^{2}).

Exercice 2. Donner le DL_{n}(0) des fonctions suivantes :

f(x) = e^{(x^{2})}, g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} .

Exercice 3. Montrer qu’il existe des réels a, b, c, d et une fonction φ : ]1, +∞[ → ℝ uniques tels que

\frac{x^{3} + 1}{x^{2} − 1} = ax + b + \frac{c}{x} + \frac{d}{x^{2}} + \frac{φ(x)}{x^{2}} et lim_{x→+∞} φ(x) = 0.

Donner la valeur de a, b, c et d. Exercice 4. Examiner la parité de la fonction f définie pour |x| < 1 par

f(x) = Log \frac{1 + x}{1 − x}

et calculer le DL_{n}(0) de f pour tout n ∈ ℕ. [Produit ] Exercice 5. Calculer les DL_{3}(0) de

f : x ↦ \frac{e^{x}}{\sqrt{1 + x}}, g : x ↦ cos x sin x, h : x ↦ e^{−x} cos(3x), i : x ↦ Log(1 + x) Log(1 − x).

Exercice 6. Calculer les DL_{5}(0) de

f : x ↦ ch(x) sin(x), g : x ↦ \sqrt{1 − x^{3}} \sqrt[3]{1 + x^{2}}, h : x ↦ \frac{1 + x}{1 − x}, i : x ↦ \frac{sin x}{exp x}.

[Ailleurs qu’en 0 ] Exercice 7. Calculer, lorsqu’ils existent :

a) les DL_{3}(1) de (Log x)/x^{2} et e^{x}\sqrt{x},

b) les DL_{2}(\frac{1}{4}) de Log x et cos(πx),

c) le DL_{3}(3) de \sqrt{x − 3}. Exercice 8. Calculer le DL_{4}(1) des fonctions

f : x ↦ \sqrt{x} Log x et g : x ↦ \frac{sin(πx)}{πx}.

[Composition, inverse ] Exercice 9. On se propose de calculer le DL_{4}(0) de f : x ↦ (1 + x)^{x}.

a) Effectuer le DL_{4}(0) de u(x) = x Log(1 + x) et vérifier que lim_{x→0} u(x) = 0.

b) Calculer le DL_{4}(0) de u(x)^{2}, u(x)^{3} et u(x)^{4}.

c) Déduire de ce qui précède le DL_{4}(0) de f(x) = e^{u(x)}.

d) Calculer le DL_{3}(0) de g(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}.

Exercice 10. Calculer les DL_{4}(0) de

f : x ↦ e^{(e^{x})}, g : x ↦ Log(cos x), h : x ↦ \sqrt{1 − sin(x)}.

Exercice 11. Calculer le DL_{4}(0) de f : x ↦ \frac{1}{cos x}. On utilisera le DL_{2}(0) de \frac{1}{1−u}. Quel est le DL_{5}(0) de f ?

[Taylor-Young, dérivation ]

Exercice 12. Calculer par récurrence la dérivée n^{ième} de f : x ↦ \frac{1}{1 − x}, définie sur ℝ \ \{1\}.

En déduire celles de g : x ↦ \frac{1}{1 + x} puis h : x ↦ \frac{1}{1 − x^{2}} .

Retrouver le développement de Taylor de f à tout ordre.

Exercice 13. Calculer le DL_{4}(0) de f : x ↦ \sqrt{cos(x)}. En déduire la valeur de f^{(4)}(0). Essayer de retrouver cette valeur en calculant f^{(4)}(x) pour tout x.

Exercice 14. Soit f : ℝ → ℝ définie par f(0) = 1 et f(x) = cos x + x^{3} sin (\frac{1}{x}) pour x ≠ 0. a) Quel théorème permet de déduire l’existence de DL_{n} de l’existence de dérivées n^{ièmes} ?

b) Montrer que si une fonction admet un développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0, alors elle est dérivable en 0.

c) Montrer que f admet un développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0, mais n’est pas dérivable deux fois en 0.

Exercice 15. On pose f(x) = x^{2} cos (\frac{1}{x}) pour x ≠ 0.

a) Montrer que l’on peut prolonger f par continuité en 0 et que f est alors dérivable sur ℝ entier.

b) Montrer que f admet un DL_{1}(0), mais que f′ n’admet pas de DL_{0}(0).

[Limites ] Exercice 16. Calculer les limites en 0 des fonctions définies comme suit :

f(x) = \frac{2x^{3} + x^{4}}{3x^{3} + x^{5}} ,  g(x) = \frac{x^{4} + x^{5} + x^{6}}{x^{2} − 2x^{3} + 3x^{4}} ,  h(x) = \frac{x(1 + cos x) − 2 tan x}{2x − sin x − tan x},
i(x) = \frac{3^{x} − 2^{x}}{x},  j(x) = \frac{x − sin x}{(tan x)^{3}},  k(x) = \frac{e^{sin x} − cos x}{cos(sin x) − e^{x}},
l(x) = \frac{ln(1 + tan x) − sin x}{tan x − sin x},  m(x) = \frac{ln(cos(πx))}{ln(cos(2πx))},  n(x) = \frac{sh x + sin x − 2x}{x(ch x + cos x − 2)}.

Exercice 17. Déterminer les limites suivantes :

l = lim_{x→1} \frac{ln x}{x^{3} − 1}, m = lim_{x→ \frac{π}{4}} \frac{cos x − sin x}{sin(x − \frac{π}{4} )}, n = lim_{x→1} \frac{e^{x} − e}{x^{3} + x^{2} − x − 1}, o = lim_{x→2} \frac{\sqrt{2 + x} − \frac{x}{4} − \frac{3}{2}}{(x − 2)^{2}} .

Exercice 18. Déterminer la limite de f(x) = \frac{2}{(cos x)^{2}} + \frac{1}{Log(sin x)} quand x tend vers \frac{π}{2} .

On réduira au même dénominateur après avoir posé u = x − \frac{π}{2} .

Exercice 19.

a) Calculer lim_{x→0} \frac{1}{(sin x)^{2}} − \frac{1}{x^{2}} .

b) Soit f une fonction impaire de classe C^{3} au voisinage de 0. On suppose que f′(0) = 1 et on pose f^{(3)}(0) = a. Calculer en fonction de a la limite lim_{x→0} \frac{1}{f(x)^{2}} − \frac{1}{x^{2}} .

c) Calculer lim_{x→0} \frac{1}{(tan x)^{2}} − \frac{1}{x^{2}} .

Exercice 20. Déterminer lim_{x→0} \frac{tan(sin x) − sin(tan x)}{x^{5}}.

[Tangentes, asymptotes ] Exercice 21. On considère les fonctions suivantes :

f_{1}(x) = \sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x}, f_{2}(x) = \frac{1 + x + x^{2}}{1 − 2x + 3x^{2}} .

a) Calculer f′_{i}(0) pour i = 1, 2.

En déduire l’équation y = ax + b de la tangente au graphe de f_{i} au point d’abscisse 0.

b) Écrire le DL_{3}(0) de f_{1} et le DL_{2}(0) de f_{2}. Retrouver le résultat de la question précédente. Quelle méthode préférez-vous ?

c) En utilisant le résultat de la question b, étudier le signe de f(x) − (ax + b) pour x proche de 0. Quelle est la position du graphe de f par rapport à sa tangente au voisinage du point d’abscisse 0 ?

Exercice 22. On définit trois fonctions f_{1}, f_{2}, f_{3} en posant

f_{1}(x) = x( cos \frac{1}{x} + sin \frac{1}{x}), f_{2}(x) = (2x + 3 + \frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}} , f_{3}(x) = \sqrt[4]{16x^{4} + x^{3} + 1}.

a) Trouver trois fonctions g_{i}, i = 1, 2, 3, telles que f_{i}(x) = xg_{i}(\frac{1}{x}).

b) Donner le développement limité à trois termes en 0 des fonctions g_{i}.

c) Pour chaque fonction f_{i}, trouver des réels a, b et c tels que

f_{i}(x) − (ax + b) = \frac{1}{x}(c + φ(x)),

avec lim_{x→+∞} φ(x) = 0. Montrer que le graphe de f_{i} admet une asymptote en +∞ dont on donnera l’équation. Quelle est la position du graphe par rapport à cette asymptote ?

Exercice 23. Soit C ⊂ ℝ^{2} le cercle de centre (4, 3) et de rayon 5, et C_{1} l’intersection de C avec le demi-plan d’équation y ≤ 3. On pose g(x) = 3 − \sqrt{9 + 8x − x^{2}}. On note P_{a} la parabole d’équation y = −\frac{4}{3}x + ax^{2}.

a) Faire une figure.

b) Montrer que C_{1} a pour équation y = g(x).

c) Déterminer le développement limité de g à l’ordre 2 au voisinage de 0.

d) Quelle est l’équation de la tangente à C en (0, 0) ?

e) Comparer les positions relatives au voisinage de (0, 0) de C et des trois paraboles P_{1/6}, P_{1/2} et P_{25/54}.

[Études de fonction ] Exercice 24. On se propose de tracer le graphe de f : x ↦ \frac{2x}{1+x^{2}} .

a) Étudier la parité et les variations de f.

b) Placer les tangentes au graphe de f aux points d’abscisses 0, 1, \sqrt{3}, 2.

c) Étudier la position du graphe par rapport à ses tangentes aux points ci-dessus.

d) Tracer l’allure du graphe de f.

Exercice 25. Étudier la fonction f : x ↦ \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} − 2} : domaine de définition, parité, tableau de variations, branches infinies.