Licence 1 2008–2009 Mathématiques EM11

Fiche d’exercices n^{o} 4 Fonctions de plusieurs variables

Exercice 1. Déterminer et représenter graphiquement les ensembles de définition des fonctions suivantes :

f(x, y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} ;  g(x, y) = \frac{1}{\sqrt{9 − x^{2} − y^{2}}} ;  h(x, y) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}\sqrt{1 − y^{2}}} ;
i(x, y) = \frac{1}{\sqrt{(1 − x^{2})(1 − y^{2})}} ;  j(x, y) = 2 + \sqrt{−(x − y)^{2}} ;  k(x, y) = Log(x^{2} − y).

Exercice 2. Déterminer les ensembles de définition des fonctions définies par les expressions suivantes :

f(x, y, z) = Log(xyz); g(x, y, z) = \sqrt{x + y} + \sqrt{z}.

Exercice 3. Calculer les dérivées partielles des fonctions définies par les expressions suivantes :

f(x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} ;  g(x, y) = Log(x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}) ;  h(x, y) = Log ( tan \frac{x}{y});
i(x, y) = (xy)^{z};  j(x, y) = \frac{xy^{2}}{x + y} ;  k(x, y) = Log (1 + \frac{y}{x}).

Exercice 4. Calculer les dérivées partielles secondes des fonctions définies par les expressions suivantes, et vérifier la validité du théorème de Schwarz :

f(x, y) = \frac{x − y}{x + y};  g(x, y) = x^{y};  h(x, y, z) = xz^{3} + y^{2}z + xy^{4}z.

Exercice 5. Déterminer une équation du plan tangent au point spécifié à chacune des surfaces suivantes :

z = 2x^{2} + y^{2} en (1, 1, 3) ;  z = y^{2} − x^{2} en (−4, 5, 9) ;  z = Log(2x + y) en (−1, 3, 0).

Exercice 6. On considère la fonction f définie dans ℝ^{2} par l’expression :

f(x, y) = 2x^{2}y + y^{2} + 2x^{2}.

a) Montrer que les points critiques de f sont A(0, 0), B(1, −1) et C(−1, −1).

b) Montrer que A est un minimum local. On pourra montrer que f(x, y) est positif si |y| ≤ 1.

c) Déterminer la nature des cinq courbes inscrites dans le graphe de f dont les équations sont

x = 0 ; y = 0 ; x = 1 ; y = −1 ; x = −y.

d) Montrer que B et C ne sont ni des minimums, ni des maximums.

e) La fonction f admet-elle un maximum global ? un minimum global ?

Exercice 7. Rechercher les points critiques des fonctions suivantes :

f(x, y) = x^{2} + 4y^{2} + 2x − 4y;  g(x, y) = x^{2} + y^{4} − 2y^{2};  h(x, y) = x^{3} + y^{3} + 9xy − 3^{3}.

Étudier la nature de ces points critiques.

Exercice 8. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel a, l’existence et la nature des extremums éventuels de la fonction définie dans ℝ^{2} par l’expression suivante :

f(x, y) = x^{4} + y^{4} − 4a^{2}xy + 8a^{4}.

Exercice 9. Décomposer 120 en somme de 3 nombres x, y et z de telle sorte que la somme des produits deux à deux de ces trois éléments soit maximale.

Exercice 10. Parmi tous les parallélépipèdes rectangles de volume égal à 216 cm^{3}, déterminer celui dont l’aire latérale totale est minimale. Pensez-vous que ce résultat soit généralisable à un parallélépipède rectangle de volume V quelconque fixé ?