Approximation de exp(sin(x)) autour de 0

Fig. 1 – approximation par des polynômes de degré 0 et 1 Fig. 2 – approximation par un polynôme de degré 2 Fig. 3 – approximation par un polynôme de degré 4 Fig. 4 – approximation par un polynôme de degré 5

Fig. 5 – approximation par un polynôme de degré 15

Plus on utilise des polynômes de degré élevé, plus on parvient à approximer la fonction de manière précise. Au voisinage de 0, on a les ordres de grandeur suivants :

1 ≫ x ≫ x^{2} ≫ x^{3} ≫ x^{4} ≫ x^{5} ≫ ⋯

Question : comment trouver ces polynômes ? Réponse : calcul de développement limité.

exp(sin(x)) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} − \frac{x^{4}}{8} − \frac{x^{5}}{15} − \frac{x^{6}}{240} + \frac{x^{7}}{90} + x^{7}ε(x)