L1 Sciences, 1^{er} semestre 2009–2010 Mathématiques, Groupe E

Plan du cours

Chapitre 0. Nombres réels et fonctions usuelles

I Nombres réels

a) Notations ensemblistes Notation { · }. ℤ, ℕ^{∗}, ℝ_{+}^{∗}, intervalles. ∩, ∪, ⊂, ∈.

b) Algèbre Symboles ∑ et ∏, factorielle. Propriétés.

c) Ordre max et min. Valeur absolue : définition, distance sur la droite réelle, inégalité triangulaire. Partie entière.

II Fonctions usuelles

a) Notations Fonction de ℝ dans ℝ. Domaine de définition, cas d’une somme, d’un produit. Fonctions composées. Exemples.

b) Exponentielle et variantes exp et ln : valeurs remarquables, règles de calcul, fonctions réciproques. Puissances entières sur ℝ / ℝ^{∗}. Puissances réelles sur ℝ_{+}^{∗}.

Chapitre 1. Étude locale des fonctions réelles

I Définition des limites

a) Introduction aux quantificateurs Notations ∃, ∀. Exemples. Fonctions majorées, minorées. Exemples, négation.

b) Définition des limites Définition d’une limite en +∞ : approche intuitive, passage à la définition avec quantificateurs.

II Limites

a) Propriétés Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient. Limite d’une fonction composée. Passage à la limite dans les inégalités. Théorème des gendarmes.

b) Variantes Limites en l’infini, limites infinies. Formes indéterminées ou pas. Limites à droite et à gauche. Fonctions localement égales. Partie entière.

III Continuité et dérivation

a) Continuité Limite en un point du domaine de définition. Continuité en un point. Exemples : continuité, discontinuités de première et seconde espèce.

b) Dérivation Taux d’accroissement, dérivée. Théorèmes généraux et règles de calcul.

c) Interprétation graphique de la dérivée Caractérisation de la dérivée par un DL. Interprétation graphique.

Chapitre 2. Développements limités

I Définition et formulaire

a) Définition Définition d’un développement limité. Unicité des coefficients. Exemple : \frac{1}{1−x}.

b) Formulaire Développements de \frac{1}{1−x}, exp, ln(1 + x), cos, sin, (1 + x)^{α}.

II Règles de calcul

a) Remarques élémentaires Troncature, parité, cas des polynômes.

b) Opérations usuelles Somme, produit, composée, quotient. Exemple : tangente.

III Formule de Taylor-Young

a) Dérivées d’ordre supérieur Définition par récurrence, fonctions de classe C^{n}, C^{∞}, opérations et fonctions usuelles.

b) Formule de Taylor-Young Théorème de Taylor-Young, application aux DLs. Exemples : \frac{1}{1−x}, exp.

Chapitre 3. Fonctions de plusieurs variables

a) Définition L’ensemble ℝ^{n}. Fonctions réelles de n variables, domaine de définition, graphe. Exemple : x^{2} + y^{2}. Fonctions affines, hyperplans.

b) Dérivées partielles Définition : dérivées des applications partielles. Équation du plan tangent. Exemples, cas n = 1, n = 2.

c) Recherche d’extrémums Rappels à une variable. Notion d’extrémum (global). Condition nécessaire : points critiques.

Chapitre 4. Nombres complexes

I Forme algébrique

a) Définition Définition de ℂ, partie réelle, partie imaginaire. Opérations. Conjugué et module. Inverse.

b) Interprétation graphique Représentation graphique, affixe. Conjugaison, module, inégalité triangulaire.

c) Le trinôme du second degré Racines complexes d’un trinôme du second degré. Méthode de calcul des racines carrées d’un nombre complexe. Théorème de D’Alembert-Gauss.

d) Règles de calcul Parties réelles et imaginaires de sommes. Conjugués de sommes, produits, quotients. Modules de produits et quotients. Liens entre parties réelles et imaginaires, conjugué, module.

II Forme trigonométrique

a) Définition Nombres complexes de module 1, module, argument. Notation exponentielle, exponentielle complexe. Exemple.

b) Interprétation graphique Coordonnées polaires.

c) Racines n^{ièmes}

Racines n^{ièmes} de l’unité. Résolution de l’équation z^{n} = a.

d) Règles de calcul Produit, quotient, conjugué de formes exponentielles. Formules d’Euler. Application : linéarisation de polynômes trigos.

Chapitre 5. Systèmes linéaires

I Généralités

a) Vocabulaire Équations linéaires, systèmes linéaires, coefficients, terme constant, terme directeur, équation triviale, système homogène.

b) Solutions Ensemble des solutions dans ℝ^{n}. Systèmes équivalents. Sous-espace vectoriel dans le cas homogène. Cas général : solution particulière + système homogène associé.

II Méthode de Gauss

a) Systèmes échelonnés Système échelonné, exemples. Résolution d’un tel système. Dimension de l’ensemble des solutions.

b) Réduction de Gauss Opérations élémentaires. Algorithme de Gauss.

Chapitre 6. Polynômes

I Généralités

a) Définition Expression linéaire (à coefficients dans K = ℝ ou ℂ) en les puissances d’une indéterminée X. Évaluation en un point du corps de base, fonction polynôme.

b) Opérations Somme, produit. K[X] est un anneau et X^{p}X^{q} = X^{p+q}. K[X] est commutatif, intègre, mais n’est pas un corps. Polynôme dérivé, cas d’un produit, d’une somme.

c) Degré Définition, deg(0) = −∞. Degré d’un produit, d’une somme. Polynôme constant. Coefficient dominant, polynôme unitaire ou normalisé.

II Arithmétique

a) Divisibilité Définition. Propriétés élémentaires : P/Q_{1} et P/Q_{2} ⇒ P/(Q_{1} + Q_{2}), P/Q et Q/R ⇒ P/R, P/Q ⇒ deg(P) ≤ deg(Q), P/Q et Q/P ⇒ Q = λP avec λ ∈ K^{∗}. Division euclidienne.

b) Plus grand commun diviseur Définition. Algorithme d’Euclide et théorème de Bézout. Polynômes premiers entre eux, exemple : X − a et X − b. Théorème de Gauss.

c) Racines Racines et divisibilité. Ordre, racines multiples, lien avec la dérivée. Nombre maximal de racines.

d) Irréductibilité Définition. Cas des degrés ≤ 3. Cas de ℝ[X] et ℂ[X]. Lemme d’Euclide, théorème de décomposition. Forme de la DFI dans ℝ[X] et ℂ[X], lien avec les racines.