Licence 1 Prérentrée MASS Mathématiques Septembre 2009

Fiche d’exercices n^{o} 1 Calculs avec les réels

[ Fractions ] Exercice 1. Écrire sous forme d’un quotient (factorisé et simplifié) les expressions suivantes :

A(x) = \frac{1}{x} − \frac{1 + x}{x^{2}}, B(x) = x − 3 − \frac{x − 3}{x + 1},

C(x) = \frac{x − 2(x − 2)}{(x + 3)(x − 2)}, D(x) = \frac{x + 1}{x + 3} − \frac{x}{x − 2}.

Préciser pour quelles valeurs de x ces expressions sont définies, avant et après simplification. Exercice 2. Simplifier les fractions suivantes :

A = \frac{a^{3}b^{2}}{a^{2}b} · \frac{ab^{3}}{a^{3}b^{2}} ,  B = \frac{\frac{3a^{2}}{5b}}{\frac{2a^{3}}{6b^{3}}} ,  C = \frac{\frac{a + b}{c}}{\frac{(a + b)^{2}}{c^{4}}} ,  D = \frac{a − \frac{1}{b}}{1 − \frac{a}{\frac{1}{b}}} .

On précisera pour quelles valeurs de a et b ces expressions sont définies, avant simplification. Exercice 3. Simplifier les fractions suivantes en utilisant des identités remarquables :

A = \frac{a}{a^{2} − 1} + \frac{2}{a^{2} + 2a + 1},  B = \frac{\frac{a^{2} − b^{2}}{3a + 3b}}{\frac{2ab}{9a − 9b} · \frac{(a − b)^{2}}{a^{2}b^{2}}} ,  C = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{b}{a} − \frac{a}{b}} ,  D = \frac{a^{2} − b^{2}}{a^{2} + ab}.

[ Développements et factorisations ] Exercice 4. Développer et réduire les expressions suivantes :

A(x) = (x − 1)(−x + 2) + (2x + 1)^{2}, B(x) = (x − 3)^{2} − 4x(x + 1), C(x) = (2x + 5)^{2} − (5x + 2)(5x − 2) − (1 − x)(3 + x), D(x, y) = (x − y + 1)(x + y − 1), E(x, y) = (2x + y − 2)(x + 2y + 2), F (x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3).

Exercice 5. En utilisant les identités remarquables, lorsque c’est possible, factoriser les expressions suivantes :

A(x) = 49 − 25x^{2},  B(x) = 2x^{2} − 12x + 18,  C(x) = 16 + 49x^{2} + 56x,
D(x) = 4x^{2} + 36,  E(x) = x^{2} + 20x + 25,  F (x) = (−x + 2)^{2} − 4x^{2},

G(x) = 9x^{2} − 1 + (x − 3)(3x − 1), H(x) = 4x^{2} − 1 − (3x + 5)(2x − 1), I(x) = −x^{2} + 16x − 64.

[ Exposants ] Exercice 6. Écrire sous forme de fraction et sans exposants les nombres suivants :

a = 4^{−3}, b = 5^{−2}, c = 8^{−5}, d = (2^{−3})^{−2}, e = 5^{−3} · 5^{−1}, f = 10^{−6},

g = \frac{1}{2^{−3}} , h = (\frac{2}{5})^{−2}, i = (\frac{1}{4})^{−3}, j = (−\frac{2}{3})^{4} (−\frac{2}{3})^{−6}, k = (\frac{1}{2})^{4} (\frac{1}{2})^{−2}, l = (\frac{3}{7})^{7}/ (\frac{7}{9})^{−5}.

Exercice 7. Écrire sous forme de fraction et sans exposants les nombres suivants :

a = 16^{1/2}, b = 81^{3/4}, c = 27^{4/3}, d = 64^{1/3}, e = (\frac{25}{4})^{3/2}, f = 8^{−1/3},

g = (2^{−1/3})^{−21}, h = (0, 064)^{−5/3}, i = 5^{−4} · 5^{2}, j = (5^{−1} + 5^{0})^{−1}, k = 7^{−1/2} · 7^{5/2}, l = \frac{3^{−7}}{3^{−5}} .

Exercice 8. Écrire comme quotients de polynômes les quantités :

A(x) = (5x)^{−3}, B(x, y) = (\frac{8x^{6}}{y^{3}} )^{2/3} , C(x) = (\frac{81x^{4}}{(x^{2} + 2x + 1)^{2}} )^{−1/4} , D(x, y) = (\frac{32y^{10}}{x^{5}} )^{−2/5} .

[ Radicaux ] Exercice 9. Simplifier les expressions suivantes :

a = 2\sqrt{2} − 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2} − 4\sqrt{3} − 10\sqrt{2} + 8\sqrt{3}, b = 3\sqrt{2} + \sqrt{8} − \sqrt{32} + 5\sqrt{18}, c = −3\sqrt{5} + 2\sqrt{80} − 4\sqrt{125}, d = 5\sqrt{6} − 2\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{8}, e = 4\sqrt{12} + 5\sqrt{8} − \sqrt{50}, f = \sqrt{8} + \sqrt{48} + \sqrt{32} + \sqrt{12}.

Exercice 10. Développer et simplifier :

a = \sqrt{3}(\sqrt{3} + 2),  b = 3(2\sqrt{2} − 1),  c = 2(\sqrt{3} − 1) + 2\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1),
d = (\sqrt{2} − 1)(\sqrt{2} + 1),  e = (2\sqrt{2} + 3)(3\sqrt{2} − 1),  f = (\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} − \sqrt{3}).

Exercice 11. Écrire les nombres suivants sans radical au dénominateur :

a = \frac{2\sqrt{3}}{5\sqrt{6}},  b = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}},  c = \frac{−3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}},  d = \frac{1 − \sqrt{5}}{2\sqrt{10}},
e = \frac{5}{2 + \sqrt{11}},  f = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} − 2},  g = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} − \sqrt{2}},  h = \frac{2}{1 + \sqrt{2} − \sqrt{3}}.

Exercice 12. Écrire les nombres suivants sans radical :

a = \sqrt[3]{\frac{27}{64}},  b = \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{25},  c = \sqrt[4]{16},  d = \begin{matrix}^{5} & \sqrt{96} \\ ^{5} & \sqrt{3} \end{matrix},

e = \begin{matrix}^{3} & \sqrt{108} \\ ^{3} & \sqrt{32} \end{matrix}, f = \begin{matrix}\sqrt[3]{2} & \sqrt[5]{64^{3}} & \sqrt[4]{8^{5}} \\ \sqrt[5]{16} & \sqrt[3]{16^{4}} & \sqrt[20]{2048} \end{matrix}, g = \begin{matrix}\sqrt[5]{4} & \sqrt{8} & ( & \sqrt[3]{\sqrt[5]{4}} & ) & 2 \\ ^{3} & \sqrt{\sqrt{2}} \end{matrix} .

Exercice 13. Simplifier les expressions suivantes : \frac{\sqrt{a}}{a^{1/6} \sqrt[3]{a}}, \frac{(a + 1)\sqrt{a}}{a^{7/6} \sqrt[3]{a}}.

[ Logarithme ] Exercice 14. Calculer en fonction de log 2 et log 3 :

a = log(1, 5),  b = log(16),  c = log(\sqrt[3]{9}),  d = log(2\sqrt{2}),  f = log(0, 25 × e),
g = log (\frac{9}{8}),  h = log(36e^{2}),  i = log(4, 5),  j = log (\frac{12}{e^{\frac{4}{5}}} ).

Exercice 15. Écrire les expressions suivantes avec un seul log, lorsque c’est possible : A(x) = log(x^{2} − 1) − log(x + 1), B(x) = log(x + 2) + log(x − 2), C(x) = \frac{log(x(x + 1))}{log(x(x + 2))}, D(x) = (log x)^{2} − 2 log(x) + 1, E(x) = log(x^{2} + 2x + 1) − log(2x + 1), F (x) = log(x^{2} + 2x + 1) − log(x + 1), G(x) = log(2x) × log(3x), H(x) = \frac{(log x)^{2} − (log 2)^{2}}{log(2x)} .