Licence 1 Prérentrée MASS Mathématiques Septembre 2009

Fiche d’exercices n^{o} 3

Études de fonctions

Toutes les fonctions considérées dans cette fiche sont des fonctions d’une variable réelle.

[ Généralités ] Exercice 1. Calculer :

a) les images des nombres \frac{5}{6} et 2 par les fonctions f : x ↦ \frac{5}{6x+5} et g : x ↦ \frac{−10}{3x+40} ;

b) les images des nombres −\frac{5}{6} et \frac{−7}{−5} par les fonctions f : x ↦ \frac{12}{18x+15} et g : x ↦ −\frac{4}{5}x − \frac{28}{15} ;

c) les images des nombres \frac{2}{5} et −\frac{3}{7} par les fonctions f : x ↦ x^{2}, g : x ↦ \frac{2}{x} et h : x ↦ \sqrt{x};

d) les antécédents des nombres \frac{14}{9} et \frac{10}{21} par les fonctions f : t ↦ \frac{5}{12}t + \frac{1}{3} et g : x ↦ \frac{3}{4}x − \frac{5}{14} ;

e) les antécédents des nombres −\frac{4}{9} et \frac{2}{25} par les fonctions f : x → x^{2} et g : x → \frac{1}{x} ;

f) les antécédents des nombres \frac{12}{27} et 1 par les fonctions f : x ↦ \frac{1+x}{x−5} et g : x ↦ \sqrt{x − 1/2}.

Exercice 2. Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes :

d(x) = \sqrt{2x^{2} − 2x − 4},  e(x) = \frac{2x}{x − 1} + \sqrt{x},  f(x) = log(4x^{2} + 4x + 1),
g(x) = \sqrt{x − 2} log(6 − x),  h(x) = \frac{log(2x − 1)}{x + 2},  i(x) = \frac{2x}{1 − |x − 2|}\sqrt{4 − |x|},
j(x) = \frac{sin x}{2 + cos x},  k(x) = \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{2 − x} \end{matrix},  l(x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x − 1}}, m(x) = \begin{matrix}√ & \overline{x + 1} \\ √ & \overline{x − 1} \end{matrix},
n(x) = log(x + 1) − log(x),  o(x) = log (\frac{x + 1}{x}),  p(x) = log(4 − x^{2})\sqrt{x − 4}.

[ Dérivation ] Exercice 3. Déterminer la dérivée et le nombre dérivé en 2 de chacune des fonctions suivantes :

d(x) = −5\sqrt{x},  e(t) = 2t^{3} − 3t^{2} + 5t − 1,  f(x) = (2x + 1)(3x^{2} + x + 1),
g(x) = (−x^{3} + 2)(2e^{x} + log x),  h(x) = (2x^{2} + 4x)\sqrt{x},  i(x) = \frac{2}{x^{3}} − \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x} − 1,
j(x) = \frac{e^{x} − 2}{3 + e^{x}},  k(x) = \frac{−4x + 2}{x − 2},  l(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} − 1},
m(x) = (1 + x^{2})e^{x},  n(x) = log (\frac{1 + x}{2 + x}),  o(x) = \frac{1 + log(x)}{1 + e^{x}}.

Exercice 4. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

d(x) = (sin x)^{3},  e(x) = tan(5x),  f(x) = e^{(x^{2})},  g(x) = 1 − 2(cos x)^{2},
h(x) = log(3x),  i(x) = log(sin(5x)),  j(x) = cos (\frac{2x+1}{x−1}),  k(x) = \frac{e^{2x}−e^{x}+1}{2e^{x}+1},
l(x) = tan(log x),  m(x) = \sqrt{2 + log x},  n(x) = cos \sqrt{2x + 1},  o(x) = log(cos(exp x)).

Exercice 5. Déterminer les extremums des fonctions suivantes sur les intervalles précisés :

e : x ↦ \frac{3}{4}x^{4} − 2x^{3} + \frac{5}{4} sur I = [−1 , 3] ; f : x ↦ \frac{2x^{2} − 2x − 1}{(x − 1)^{2}} sur I = [3/2 , 4] ;

g : x ↦ \frac{4x^{2} + 3}{(x − 1)^{2}} sur I = [−3 , 6]. h : x ↦ 2\sqrt{x^{2} − 9} − 3x sur I = [2 , 5] ;

[ Limites ] Exercice 6. Calculer les limites suivantes en factorisant les termes dominants :

l = lim_{x→0} \frac{27x^{3} + 2x + 3}{x^{18} − 14x + 2},  m = lim_{x→0} \frac{−10x^{5} + 2x^{3}}{15x^{4} + 20x^{2}} ,  n = lim_{x→0^{+}} \frac{2x^{9} + x^{4} − 2x^{3}}{x^{17} − x^{7} + x^{3}} ,
o = lim_{x→0^{−}} \frac{2x^{9} − x^{4} − 2x^{2}}{x^{7} − 3x^{4} + 2x^{3}} ,  p = lim_{x→1} \frac{(x − 1)^{3} + 2}{x^{2} − 4x + 4},  q = lim_{x→1^{+}} \frac{(x − 1)^{4} + x − 1}{(x − 1)^{3} + (x − 1)^{2}} ,

r = lim_{x→1} \frac{(x − 1)^{3} + 2(x − 1)^{2}}{(x − 1)^{2} + (x − 1)^{3}} , s = lim_{x→1} \frac{x^{2} − 2x + 1}{3x − 3}, t = lim_{x→+∞} \frac{x^{4} + x^{2} + 1}{x^{2} + x + 1},

u = lim_{x→−∞} \frac{(x − 1)^{3} + 2}{x^{2} − 4x + 4},  v = lim_{x→−∞} \frac{|x|x^{4} + x^{3} − 16x}{1 − x − 12x^{5}},  w = lim_{x→+∞} \frac{x^{4} + 2x^{3} + 4x^{2} + 8x}{1 − x − 12x^{5}}.

Exercice 7. Calculer les limites suivantes en factorisant les termes dominants :

l = lim_{x→−∞}(x^{2} + x^{3}),  m = lim_{x→+∞}(e^{x} − 3x^{5}),  n = lim_{x→+∞}(2(log x)^{2} − x),
o = lim_{x→0}(xe^{2x} + log x),  p = lim_{x→+∞}(xe^{x} − x^{4} log x),  q = lim_{x→0}(log x + 3e^{x}(log x)^{2}),

r = lim_{x→+∞}(x^{−5}e^{2x} − e^{x} log x), s = lim_{x→−∞}(xe^{x^{2}} − x^{3}e^{x}).

Exercice 8. Calculer les limites suivantes en se ramenant en 0 :

l = lim_{x→1} \frac{x^{2} − 3x + 2}{x^{2} + 2x − 3},  m = lim_{x→2} \frac{x^{2} − x − 2}{x^{3} − 4x},  n = lim_{x→1} \frac{x^{3} − x^{2} − x + 1}{x^{3} + 3x^{2} − 4},

o = lim_{x→−1} \frac{x^{4} + 5x^{3} + 9x^{2} + 7x + 2}{x^{4} + 2x^{3} − 2x − 1}, p = lim_{x→−2} \frac{x^{3} + 3x^{2} − 4}{(x^{2} + 4x + 4)\sqrt{2 − x}}, q = lim_{x→1} \frac{(x − 1) sin(πx)}{x^{2} + 4x − 5},

r = lim_{x→−1^{+}} \frac{(x + 1)\sqrt{x^{2} + 4x + 3}}{x^{3} − 3x − 2}, s = lim_{x→0} \frac{cos^{2} x + cos x − 2}{sin^{2} x}.

Exercice 9. Calculer lim_{x→0} \frac{e^{2x} + e^{−2x} − 2e^{2x^{2}}}{log(1 + x^{4})} .

[ Tangentes, asymptotes ] Exercice 10. Déterminer les équations des tangentes aux graphes des fonctions suivantes aux points précisés :

a) f : x ↦ x^{2} + 3x + 2 aux points d’abscisses 0 et −3/2 ;

b) f : x ↦ x cos(πx) aux points d’abscisses 0, 1/2 et 3/2 ;

c) f : x ↦ exp(x^{2} − 2x + 1) aux points d’abscisses 0, 1 et 2 ;

d) f : x ↦ (x + 1)^{−2}\sqrt{x} aux points d’abscisses 0 et 1. Illustrer par des dessins.

Exercice 11. Déterminer les équations des asymptotes en +∞ aux graphes des fonctions suivantes :

f(x) = \frac{3x^{2} − 2x + 4}{x}, g(x) = \frac{4x − 6}{x + 2}, h(x) = \frac{5x^{2} − 6x + 4}{x − 1}, i(x) = \frac{2x^{3} − 3x}{1 − x^{2}}, j(x) = \frac{x^{3} + 4}{x + 2}.

Exercice 12. Étudier les fonctions suivantes et tracer leur graphe :

f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} − 1}, g(x) = \frac{x^{3}}{x^{2} − 1}, h(x) = \sqrt{x^{2} − 1}.