Université de Caen EM51 UFR Sciences 2011-2012 L3 Maths 1^{er} semestre

Espaces métriques Examen partiel

lundi 17 octobre 2011

Documents et calculatrices ne sont pas autorisés.

Durée : 3 heures.

Question de cours.

1. Soit (A, d), (A′, d′) des espaces métriques et a ∈ A. Soit f : A → A′ une application. Montrer que f est continue en a si et seulement si on a lim f(x_{n}) = f(a) pour tout suite (x_{n})_{n∈ℕ} à valeurs dans A qui converge vers a.

2. Donner un exemple d’une suite d’ouverts U_{n} dans ℝ telle que l’intersection U = ⋂_{n∈ℕ} U_{n} est un fermé de ℝ.

Exercice 1. Soit f : ℝ^{2} → ℝ^{3} une application linéaire, et M sa matrice dans les bases canoniques. On munit ℝ^{2} de la norme N_{2}, ℝ^{3} de la norme N_{1}, et on note ∥f∥ la norme d’opérateur associée pour f. Par ailleurs on pose

P (M) = |a| + |b| + |c| + |d| + |e| + |f| si M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \\ e & f \end{matrix} ) .

1. Montrer que P est une norme sur M_{3,2}(ℝ).

2. Exprimer f(x, y) en fonction de a, b, c, d, e, f, x, y. En déduire que ∥f∥ ≤ P (M).

3. On prend f(x, y) = (x + y, 2x − y, x − y).

a. À l’aide de la question 2, donner un majorant pour ∥f∥. b. En calculant f(4, −1) donner un minorant pour ∥f∥.

4. Cette question est moins facile.

On conserve la fonction f de la question 3.

a. Démontrer l’inégalité |X| + |Y | + \frac{1}{2}|X + 3Y | ≤ \sqrt{\frac{17}{2}} \sqrt{X^{2} + Y^{2}}, pour tous X, Y ∈ ℝ.

b. En posant X = x + y, Y = x − y, montrer que ∥f∥ = \sqrt{17}.

suite au verso Exercice 2. On considère le sous-ensemble suivant de ℝ^{2} :

A = \{x ∈ ℝ | sin(exp(x)) > \frac{1}{2}\}.

1. Exprimer A comme image réciproque d’un intervalle et en déduire que A est ouvert. Pour tout réel x on note E(x) la partie entière de x, c’est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à x, et F (x) = x − E(x) la partie fractionnaire de x. On considère le sous-ensemble suivant de ℝ :

B = \{x ∈ ℝ | F (exp(x)) > \frac{1}{2}\}.

2. Soit k ∈ ℤ un entier relatif fixé. Montrer que la partie suivante de ℝ est ouverte :

B_{k} = \{x ∈ ℝ | k + \frac{1}{2} < exp(x) < k + 1\}.

Montrer avec soin que B = ⋃_{k∈ℤ} B_{k}.

3. Montrer que B est ouvert.

Pourquoi ne peut-on pas procéder comme à la question 1 ?

Exercice 3. On considère l’espace vectoriel E = C([0, 1] , ℝ) des fonctions réelles continues sur [0, 1]. Pour f ∈ E on pose ∥f∥ = sup_{t∈[0,1]} |tf(t)|. On définit par ailleurs des formes linéaires φ, ψ ∈ E^{∗} en posant

φ(f) = ∫_{0}^{1} t^{2}f(t)dt et ψ(f) = f(0).

1. Montrer que ∥ · ∥ est une norme sur E.

2. Montrer que la forme linéaire φ est bornée.

3. Pour n ∈ ℕ^{∗} on considère f_{n} ∈ E donnée par f_{n}(t) = (t + \frac{1}{n})^{−1}.

a. Montrer que ∥f_{n}∥ ≤ 1 et calculer ψ(f_{n}) pour tout n.

b. La forme linéaire ψ est-elle bornée ?

Exercice 4. On considère l’ensemble X = [0, 1[. On note d(x, y) = |x − y| la distance induite sur X par la distance usuelle de ℝ. On pose par ailleurs

d_{∘}(x, y) = min(d(x, y), 1 − d(x, y)).

1. Soit x, y, z ∈ X.

a. Montrer que d_{∘}(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

b. Montrer que d_{∘}(x, z) ≤ (1 − d(x, y)) + d(y, z). On admet que d_{∘}(x, z) ≤ d(x, y) + (1 − d(y, z)) et que d_{∘}(x, z) ≤ (1 − d(x, y)) + (1 − d(y, z)).

2. Montrer que d_{∘} est une distance sur X.

3. On considère la suite x_{n} = 1 − \frac{1}{n} ∈ X.

Montrer que lim x_{n} = 0 relativement à d_{∘}. Les distances d et d_{∘} sont-elles équivalentes ?

4. On considère maintenant une suite quelconque d’éléments x_{n} ∈ X.

a. Montrer que si lim x_{n} = x relativement à d, alors lim x_{n} = x relativement à d_{∘}.

b. Cette question est plus difficile.

Montrer que si lim x_{n} = x relativement à d_{∘}, avec x ≠ 0, alors lim x_{n} = x relativement à d.