Université de Caen 1^{er} semestre 2011-2012 UFR Sciences Mathématiques L3 Maths Espaces métriques

Normes et distances

[Distances] Exercice 1. Soit θ : ℝ_{+} → ℝ_{+} une fonction nulle en 0 et croissante. On dit que θ est sous-additive si θ(u + v) ≤ θ(u) + θ(v) pour tous u, v ∈ ℝ_{+}.

a. (i) Montrer que si θ est dérivable et θ′ est décroissante, alors θ est sous-additive. (ii) Montrer que si θ est sous-additive, on a θ(u) > 0 pour u > 0. (iii) Vérifier que θ_{1} : u ↦ min(u, 1) et θ_{2} : u ↦ u/(1 + u) sont sous-additives.

b. On suppose que θ est sous-additive. Soit (E, d) un espace métrique.

Montrer que d′ = θ ∘ d est une distance sur E. c. On prend E = ℝ, muni de la distance usuelle d. On note d′_{1} et d′_{2} les distances sur ℝ associée à θ′_{1} et θ′_{2}.

(i) Soit p, q deux entiers relatifs distincts. Que vaut d′_{1}(p, q) ?

(ii) Les distances d′_{1} et d′_{2} sont-elles équivalentes à d?

Exercice 2. On considère X = ℝ^{2} et on pose, pour (x, y), (x′, y′) ∈ X :

d((x, y), (x′, y′)) = \{ \begin{matrix}|y′ − y| & si x = x′, \\ |x′ − x| + |y| + |y′| & si x ≠ x′. \end{matrix}

a. Montrer que d est une distance.

b. Montrer que d((x, y), (0, 0)) = N_{1}(x, y).

La distance d est-elle équivalente à la distance associée à N_{1} ? Est-elle associée à une norme ? c. Représenter la boule ouverte B((x, y), r). On distinguera les cas r ≥ |y|, 0 < r < |y|.

Exercice 3. Soit X = P(ℕ^{∗}) l’ensemble des sous-ensembles de ℕ^{∗}. On munit ℕ^{∗} de la distance usuelle d(a, b) = |b − a|. Pour A ∈ X et k ∈ ℕ^{∗} on note A_{k} = {n ∈ ℕ^{∗} | d(n, A) ≤ k}. Pour A, B ∈ X on pose δ(A, B) = min{k ∈ ℕ^{∗} | A ⊂ B_{k} et B ⊂ A_{k}}.

a. Montrer que d(n, A) = k ⇒ ∃a ∈ A d(n, a) = k. Est-vrai dans tout espace métrique ?

Donner des exemples de parties A, B, C ∈ X telles que d(A, B) = 0, A ≠ B, et d(A, C) > d(A, B) + d(B, C). b. Montrer que A ⊂ B ⇒ A_{k} ⊂ B_{k} pour tout k, et que (A_{k})_{l} = A_{k+l}. c. Montrer que δ est une distance sur X.

Donner des exemples de parties A, B, C ⊂ ℕ^{∗} pour lesquelles l’inégalité triangulaire est une égalité.

Exercice 4. Soit X = P(ℕ^{∗}) l’ensemble des sous-ensembles de ℕ^{∗}.

a. Rappelons qu’on note A △ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) la différence symétrique de A, B ∈ X.

Montrer que A = B ssi A △ B = ∅. b. Pour tous A, B ∈ X on pose δ(A, B) = (min(A △ B))^{−1}, en convenant que δ(A, A) = 0.

Montrer que δ(A, B) < 1/n ⟺ A ∩ [1, n] = B ∩ [1, n]. c. Montrer que δ est une distance ultramétrique sur X.

Est-elle équivalente à celle de l’exercice précédent ?

[Espaces de dimension finie] Exercice 5. On fixe des réels a, b et on pose N(x, y) = a|x| + b|y| pour (x, y) ∈ ℝ^{2}.

a. À quelle condition sur a, b l’application N est-elle une semi-norme sur ℝ^{2} ? une norme ?

b. Lorsque N est une norme, montrer qu’elle est équivalente à la norme euclidienne canonique.

Exercice 6. On note N_{2} la norme euclidienne canonique sur ℝ^{2}. Soit q : (x, y) ↦ ax^{2} + bxy + cy^{2} est une forme quadratique définie-positive sur ℝ^{2}, on note N_{q} la norme associée.

a. Montrer que 2|xy| ≤ x^{2} + y^{2} pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

b. Rappeler à quelles conditions sur a, b, c la forme quadratique q est définie-positive.

c. Expliquer pourquoi on peut trouver a′ ∈ ]0, a[, c′ ∈ ]0, c[ tels que b^{2} ≤ 4a′c′.

d. Montrer que N_{2} et N_{q} sont équivalentes.

Exercice 7. On pose N(x, y) = max(|x|, |x + y|) et P (x, y) = sup_{0≤t≤1} |x + ty|, pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}. On note N_{2} la norme euclidienne canonique sur ℝ^{2}.

a. Montrer que N, P sont des normes sur ℝ^{2}.

b. Montrer que N(x, y) ≥ \frac{1}{2}|y| pour tout (x, y) ∈ ℝ^{2}.

c. Montrer que N et P sont équivalentes à N_{2}.

Exercice 8. On considère E = ℚ^{2} et on pose N(x, y) = |x + y\sqrt{2}| pour tout (x, y) ∈ E.

a. Montrer que N est une norme sur le ℚ-espace vectoriel E.

b. On fixe n ∈ ℕ^{∗}. Montrer qu’il existe un entier relatif a_{n} tel que N(a_{n}, 10^{n}) < 1.

c. La norme N est-elle équivalente à la norme N_{1} ?

Exercice 9. Calculer la norme des applications linéaires suivantes :

– f : (ℝ^{2}, ∥ · ∥_{∞}) → (ℝ, | · |), (x, y) ↦ 2x + 3y,

– g : (ℝ^{3}, ∥ · ∥_{1}) → (ℝ, | · |), (x, y, z) ↦ πx + y − πz,

– h : (ℝ^{3}, ∥ · ∥_{1}) → (ℝ^{2}, ∥ · ∥_{∞}), (x, y, z) ↦ (x + y, 2y + z),

– i : (ℝ^{2}, ∥ · ∥_{∞}) → (ℝ^{2}, ∥ · ∥_{1}), (x, y) ↦ (x + y, x − y). [Espaces de suites] Exercice 10. On note E l’ensemble des suites réelles bornées sur ℝ. Soit (∑ a_{n}) une série convergente à termes positifs. Pour x = (x_{n})_{n} ∈ E on note N(x) = ∑ a_{n}|x_{n}|.

a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de ℝ^{ℕ}, et que N est une semi-norme sur E.

b. À quelle condition N est-elle une norme sur E?

On pourra noter e_{p} la suite (δ_{p,n})_{n} et calculer N(e_{p}) pour tout p. c. On suppose que N est une norme. Est-elle équivalente à la norme N_{∞} : x ↦ sup_{n} |x_{n}|?

Obtient-on une norme équivalente à N si on remplace (a_{n})_{n} par (a_{n}/n)_{n}? par (sh a_{n})_{n}?

Exercice 11. Soit E l’espace des suites complexes presque nulles sur ℕ, muni de la norme N_{2}. On fixe une suite bornée (a_{n})_{n} et on considère les endomorphismes D, M, S définis comme suit :

D((x_{n})_{n}) = (x_{n+1})_{n}, M((x_{n})_{n}) = (a_{n}x_{n})_{n}, et S((x_{n})_{n}) = (y_{n})_{n} où y_{n} = ∑_{k=n}^{∞} \frac{x_{k}}{2^{k}} .

Montrer que D, M, S sont bornés et calculer leurs normes d’opérateur. [Espaces de fonctions] Exercice 12. On considère l’espace E = ℝ[X] et on pose, pour P = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ E :

N(P) = sup_{i} |a_{i}| et N′(P) = sup_{t∈[0,1]} |P (t)|.

On définit par ailleurs des endomorphismes de E en posant

f(P) = P′, g(P) = (X + 1)P et h_{α}(P) = P (α), pour α ∈ ℝ.

a. Montrer que N et N′ sont des normes sur E.

b. Les applications f, g, h_{1}, h_{2} sont-elles bornées relativement à N ? à N′?

Le cas échéant, calculer leurs normes d’opérateurs. c. Les normes N, N′ sont-elles équivalentes ?

Exercice 13. On considère l’espace E = C^{1}([0, 1] , ℝ) et les applications de E dans ℝ définies comme suit :

N_{∞}(f) = ∥f∥_{∞} = sup_{t∈[0,1]} |f(t)|, P_{1}(f) = ∥f∥_{∞} + ∥f′∥_{∞}, P_{2}(f) = |f(0)| + ∥f′∥_{∞}.

a. Montrer que P_{1} et P_{2} sont des normes.

Rappeler comment on démontre que f′ = 0 ⟹ f constante. b. Montrer que les normes P_{1} et P_{2} sont équivalentes. Sont-elles équivalentes à N_{∞}? c. Pour lesquelles des ces normes la forme linéaire φ : E → ℝ, φ(f) = f′(0) est-elle bornée ?

Lorsque φ est bornée, montrer que ∥φ∥ = 1 dans E′. Cette norme est-elle atteinte ? regarder sin(nt)/n Exercice 14. On considère l’espace vectoriel E = C^{1}([0, 1] , ℝ) et le sous-espace F = {f ∈ E | f(0) = 0}. Pour tout élément f ∈ E on pose

N(f) = ∥f∥_{∞} + ∥f′∥_{∞} et N′(f) = ∥f + f′∥_{∞}.

a. Montrer que N est une norme sur E, et que N′ est une semi-norme. N′ est-elle une norme ?

b. Résoudre l’équation différentielle f + f′ = 0.

En déduire que la restriction de N′ à F est une norme. c. On fixe g ∈ C([0, 1] , ℝ). Résoudre l’équation différentielle f + f′ = g. On pourra utiliser la méthode de variation

de la constante, c’est-à-dire rechercher f sous la forme f(t) = λ(t)e^{−t}. Y a-t-il une solution dans F ? d. En utilisant la question précédente, montrer que les normes N et N′ sont équivalentes sur F.

Exercice 15. Calculer la norme des formes linéaires

φ : f ↦ ∫_{−1}^{1} f(t)dt, ψ : f ↦ ∫_{0}^{1} f(t)dt − ∫_{−1}^{0} f(t)dt,

définies sur l’espace C([−1, 1] , ℝ) muni de la norme de la convergence uniforme. Ces normes sont-elles atteintes ? Exercice 16. On considère l’espace E = C([0, 1] , ℝ) muni de la norme de la convergence uniforme. On dit que f ∈ E est positive, et on note f ≥ 0, si f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ [0, 1]. On dit qu’une forme linéaire φ ∈ E^{∗} est positive si f ≥ 0 ⇒ φ(f) ≥ 0.

a. Montrer qu’une forme linéaire positive est bornée. On pourra considérer g : x ↦ ∥f∥ − f(x).

b. Appliquer ce qui précède à φ_{1} : f ↦ f(1) et φ_{2} : f ↦ ∫_{0}^{1} f.

Montrer directement que ces formes linéaires sont bornées.

[Espaces d’opérateurs] Exercice 17. Si N, N′ sont deux normes sur E = ℝ^{n}, on note ∥M∥_{N→N′} la norme d’opérateur d’une matrice M = (m_{ij}) ∈ M_{n}(ℝ) vue comme application linéaire de (ℝ^{n}, N) vers (ℝ^{n}, N′).

a. Montrer que ∥M∥_{N_{1}→N_{1}} = max_{j} ∑_{i} |m_{ij}|.

b. Montrer que ∥M∥_{N_{∞}→N_{∞}} = max_{i} ∑_{j} |m_{ij}|.

c. Montrer que ∥M∥_{N_{∞}→N_{1}} ≤ ∑_{ij} |m_{ij}|.

Donner un exemple de matrice M telle que cette inégalité soit une égalité, et un exemple tel qu’elle soit stricte.

Exercice 18. On munit ℝ^{n} de la norme N_{2}, et on note ∥ · ∥_{op} = ∥ · ∥_{N_{2}→N_{2}} la norme d’opérateur associée sur M_{n}(ℝ). On pose par ailleurs, pour A, B ∈ M_{n}(ℂ), (A|B) = Tr(^{t}AB) et ∥A∥_{2}^{2} = Tr(^{t}AA).

a. Vérifier que (A, B) ↦ (A|B) est une forme bilinéaire M_{n}(ℝ).

b. Calculer (A|A) en fonction des coefficients de A = (a_{ij}).

En déduire que la forme bilinéaire considérée est définie-positive. c. Montrer les inégalités ∥A∥_{op} ≤ ∥A∥_{2} ≤ \sqrt{n}∥A∥_{op}. On pourra calculer la trace en utilisant une BON de ℝ^{n}. d. Quel argument permet de montrer sans calcul que ^{t}AA est diagonalisable en BON ?

Montrer que les valeurs propres de ^{t}AA sont positives. e. En utilisant la question précédente, montrer que ∥A∥_{2}^{2} est égal à la somme des valeurs propres de ^{t}AA. f. De même, montrer que ∥A∥_{op}^{2} est égal à la plus grande valeur propre de ^{t}AA. g. Retrouver les inégalités de la question c.

Exercice 19. Soit E un espace vectoriel normé non nul et u, v ∈ L′(E). On suppose que u ∘ v − v ∘ u = λId. a. Montrer que u ∘ v^{n+1} − v^{n+1} ∘ u = λ(n + 1)v^{n} pour tout n. b. Montrer qu’on a forcément λ = 0. c. On prend E = C^{∞}([0, 1]), muni de la norme de la convergence uniforme N = ∥ · ∥_{∞}.

On pose u(f) = f′ et v(f) = (t ↦ tf(t)). Calculer u ∘ v − v ∘ u. Conclusion ? d. On conserve l’espace E et les endomorphismes u, v de la question précédente.

On considère la norme N′ : f ↦ ∥f∥_{∞} + ∥f′∥_{∞} sur E.

Montrer que u et v sont bornés pour la norme ∥ · ∥_{N′→N}. Conclusion ?