Université de Caen 1^{er} semestre 2011-2012 UFR Sciences Mathématiques L3 Maths Espaces métriques

Topologie

Exercice 1. Dire si les sous-ensembles suivants de ℝ^{2} sont ouverts, fermés, ou ni l’un ni l’autre, en justifiant : a. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1} b. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} − x^{2} = 1} c. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y^{2} − x^{2} ≤ 1 et x^{2} + y^{2} < 2} d. ([2, 3] ∪ {0}) × [−1, 1] e. \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≠ 0 et y = \frac{1}{x^{2}} \} f. \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | 1 − xy > 0\} g. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | sin(x^{2} + y^{2}) ≥ 0} h. ℤ × (ℝ \ ℤ) i. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≥ 1, y ≤ 2 et x − y ≥ 0} j. {(cos t, sin t) | t ∈ ℝ} k. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < 1} ∪ {(1, 0)} l. {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} + x^{2}y + xy^{2} + y^{3} − (x^{2} + y^{2}) = 0}

Montrer que le dernier ensemble est encore fermé lorsqu’on lui enlève le point (0, 0). Exercice 2. Déterminer la frontière, l’adhérence et l’intérieur des sous-ensembles suivants de ℝ^{n} :

a. ]0, 1] ⊂ ℝ b. ℚ ⊂ ℝ

c. {(x, y) | x^{2} ≤ y < x + 2} ⊂ ℝ^{2} d. {(cos t, sin t)} ⊂ ℝ^{2}

e. {n^{−1} | n ∈ ℕ^{∗}} ⊂ ℝ f. {(t, sin(1/t)) | t ∈ ℝ_{+}^{∗}}

Exercice 3. On se place dans E = ]−∞, 0] ∪ [1, 2] ∪]3, +∞[, muni de la distance induite par la distance usuelle de ℝ. On note B_{o} = B(1, 1) (resp. B_{f} = B̄(1, 1)) la boule ouverte (resp. fermée) de centre 1 et rayon 1.

a. Expliciter les sous-ensembles suivants de ℝ :

B_{o}, ^{∘} B_{o}, \overline{B_{o}}, B_{f}, \overline{B_{f}}, ^{∘} B_{f}, Fr B_{o}, Fr B_{f}.

Maintenant E est un espace vectoriel normé. On fixe a ∈ E, r > 0 et on note B_{o} = B(a, r) (resp. B_{f}(a, r)) la boule ouverte (resp. fermée) de centre a et rayon r.

b. Montrer que \overline{B_{o}} = B_{f} et ^{∘} B_{f} = B_{o}.

Exercice 4. Soit E un espace vectoriel normé et A, B ⊂ E.

a. Montrer que le complémentaire de ^{∘} A est la fermeture de ^{c}A.

Montrer que le complémentaire de \overline{A} est l’intérieur de ^{c}A. b. (i) Montrer que Fr \overline{A} ⊂ Fr A et Fr ^{∘} A ⊂ Fr A.

(ii) Donner un exemple où les inclusions précédentes sont strictes. c. (i) Montrer que Fr(A ∪ B) ⊂ Fr A ∪ Fr B.

(ii) Donner un exemple où l’inclusion précédente est stricte.

(iii) Montrer qu’il y a égalité lorsque \overline{A} ∩ \overline{B} = ∅. d. (i) Montrer que \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{A} ∩ \overline{B}.

(ii) Donner un exemple où l’inclusion précédente est stricte.

(iii) Montrer qu’il y a égalité lorsque Fr A ∩ Fr B = ∅.

Exercice 5. Soit X = P(ℕ^{∗}) muni de la distance δ(A, B) = (min(A △ B))^{−1}.

a. Montrer que le sous-ensemble Y = P_{f}(ℕ^{∗}) des parties finies de ℕ^{∗} est dense dans X.

b. Montrer que l’application f : X → X, A ↦ ^{c}A est continue.

c. Soit A ∈ X. Montrer que le sous-ensemble {B ∈ X | A ⊂ B} de X est fermé, et ouvert si A est finie.

d. On munit X × X de la distance produit δ_{∞}.

Montrer que l’application g : X × X → X, (A, B) ↦ A ∩ B est continue. e. Soit A, B deux sous-ensembles de ℕ ∩]n, +∞[.

Décrire les éléments des boules ouvertes B(A, 1/n) et B(B, 1/n). f. Montrer que la propriété constatée à la question précédente est valable pour tout rayon r > 0 et tous points A,

B d’un espace ultramétrique tels que δ(A, B) < r. g. Montrer qu’au contraire, dans un ℝ-espace vectoriel normé on a B(a, r) = B(a′, r′) ⇒ a = a′ et r = r′.

Exercice 6. On se place dans ℝ, muni de la distance usuelle. On fixe un ouvert U ⊂ ℝ. Pour tout x ∈ U, on note I_{x} la réunion des intervalles ouverts contenant x et contenus dans U.

a. Montrer que I_{x} est de la forme ]a, b[ avec a, b ∈ ℝ ∪ {±∞}.

b. Montrer que si I_{x} rencontre I_{y}, alors I_{x} = I_{y}.

c. Montrer que tout ouvert de ℝ est réunion au plus dénombrable d’intervalles ouverts deux-à-deux disjoints.

On pourra remarquer que tout intervalle ouvert non vide de ℝ contient un rationnel. d. Soit F ⊂ ℝ un fermé. Montrer qu’il existe f ∈ C^{∞}(ℝ, ℝ) telle que F = f^{−1}({0}).

On pourra commencer par le cas où ^{c}F est un intervalle ouvert.

Exercice 7. Soit (E, d) un espace métrique et A ⊂ E non vide.

a. Montrer que |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) pour tous x, y ∈ E.

En déduire que l’application d_{A} : E → ℝ, x ↦ d(x, A) est continue. b. On note A_{r} = {x ∈ E | d(x, A) < r}. Montrer que A_{r} est ouvert. Déterminer ⋂_{r>0} A_{r} en fonction de A.

Montrer que tout fermé de E est intersection dénombrable d’ouverts. c. Soit F_{1}, F_{2} deux fermés disjoints de E. En considérant l’application (x ↦ d(x, F_{1}) − d(x, F_{2})), montrer qu’il

existe deux ouverts disjoints O_{1} et O_{2} tels que F_{1} ⊂ O_{1} et F_{2} ⊂ O_{2}.

Exercice 8. On munit M_{n}(ℝ) de la norme ∥(m_{ij})_{ij}∥ = max_{i,j} |m_{ij}|. On note S_{n}(ℝ) ⊂ M_{n}(ℝ) le sous-ensemble des matrices symétriques.

a. Montrer que S_{n}(ℝ) est un fermé de M_{n}(ℝ).

b. Soit V ∈ ℝ^{n} un vecteur colonne. Pour tout λ ∈ ℝ on note F_{λ}(V) = {A ∈ M_{n}(ℝ) | AV = λV }.

Montrer que F_{λ}(V) est un fermé de M_{n}(ℝ). c. Soit V ∈ ℝ^{n} un vecteur colonne. On note G(V) = {A ∈ M_{n}(ℝ) | AV ∈ ℝV }.

Montrer que G(V) est un fermé de M_{n}(ℝ).

Exercice 9. On munit M_{n}(ℝ) de la norme ∥(m_{ij})_{ij}∥ = max_{i,j} |m_{ij}|. Rappelons qu’on note GL_{n}(ℝ) ⊂ M_{n}(ℝ) le sous-ensemble des matrices inversibles.

a. Montrer que l’application déterminant det : M_{n}(ℝ) → ℝ est continue.

b. Montrer que GL_{n}(ℝ) est un ouvert de M_{n}(ℝ).

c. Soit A ∈ M_{n}(ℝ) une matrice. On note χ_{A} = det(A − XI) le polynôme caractéristique de A.

(i) Quel est le degré de χ_{A}? Que peut-on dire de l’ensemble des racines de χ_{A}?

(ii) Montrer qu’il existe ϵ > 0 tel que χ_{A} ne s’annule pas sur ]−ϵ, ϵ[, sauf peut-être en 0. d. Montrer que lim_{t→0}(A − tI) = A.

En déduire que GL_{n}(ℝ) est dense dans M_{n}(ℝ). e. Application. On admet que la fonction qui à A ∈ M_{n}(ℝ) associe χ_{A} ∈ ℝ[X]_{n} est continue.

(i) Montrer que χ_{AB} = χ_{BA} si A est inversible.

(ii) En déduire que χ_{AB} = χ_{BA} pour toutes matrices A, B ∈ M_{n}(ℂ).

Exercice 10. Soit E un espace vectoriel normé et φ ∈ E^{∗} une forme linéaire non bornée sur E.

a. Montrer qu’il existe une suite (x_{n})_{n} ∈ E^{ℕ} telle que ∀n ∥x_{n}∥ = 1 et lim_{n→∞} |φ(x_{n})| = +∞.

b. Montrer qu’il existe une suite (x_{n})_{n} ∈ E^{ℕ} telle que ∀n φ(x_{n}) = 1 et lim_{n→∞} x_{n} = 0.

c. Soit y ∈ E tel que φ(y) = 1.

Montrer qu’il existe une suite (z_{n})_{n} ∈ E^{ℕ} telle que ∀n φ(z_{n}) = 0 et lim_{n→∞} z_{n} = y. d. Montrer que Ker φ est dense dans E.

Exercice 11. On considère E = C^{1}([−1, 1] , ℝ) muni de la norme de la convergence uniforme.

a. Soit f ∈ E une fonction telle que ∀g ∈ E ∫_{−1}^{1} fg = 0. Montrer que f = 0.

b. Montrer que φ : E → ℝ, f ↦ f′(0) n’est pas continue.

c. Montrer que F = {f ∈ E | f′(0) = 0} est dense dans E.

d. Soit f ∈ E une fonction telle que ∀g ∈ F ∫_{−1}^{1} fg = 0. Montrer que f = 0.

Exercice 12. Dans cet exercice on va montrer qu’un sous-groupe G de (ℝ, +) est soit de la forme rℤ avec r ∈ ℝ, soit dense dans ℝ. On suppose G ≠ {0} et on pose r = inf(G ∩ ℝ_{+}^{∗}).

a. On suppose que la borne inférieure r est atteinte.

(i) En écrivant a ∈ G sous la forme a = kr + x avec x ∈ [0, r[, montrer que G = rℤ.

(ii) Montrer que G est fermé dans ℝ. b. On suppose que la borne inférieure r n’est pas atteinte. On fixe ϵ > 0.

(i) Montrer qu’il existe a, b ∈ G ∩ ℝ_{+}^{∗} tels que |a − b| < ϵ.

(ii) Soit x ∈ ℝ. Montrer qu’il existe c ∈ G tel que |x − c| < ϵ. Conclure.