Université de Caen 1^{er} semestre 2011-2012 UFR Sciences Mathématiques L3 Maths Espaces métriques

Espaces complets

Exercice 1. L’ensemble ℝ est-il complet pour les distances suivantes ?

d_{1}(x, y) = |x^{3} − y^{3}|, d_{2}(x, y) = |e^{x} − e^{y}|, d_{3}(x, y) = log(1 + |x − y|).

Indications. Si (x_{n}) est une suite de Cauchy pour d_{1}, on pourra considérer la suite (x_{n}^{3}). On pourra également considérer la fonction « cube » comme une isométrie relativement à des distances bien choisies. Pour d_{3} on pourra utiliser l’encadrement t log(2) ≤ log(1 + t) ≤ t pour t ∈ [0, 1].

Exercice 2. L’ensemble ℕ^{∗} est-il complet pour les distances suivantes ?

d_{1}(k, l) = |k − l|, d_{2}(k, l) = δ_{k,l}(1 + k^{−1} + l^{−1}), d_{3}(k, l) = |k^{−1} − l^{−1}|.

Vérifier que f : ℕ^{∗} → ℕ^{∗}, k ↦ k + 1 est strictement contractante pour d_{2} mais n’a pas de point fixe. On étend d_{3} à X = ℕ^{∗} ∪{∞} en posant d_{3}(k, ∞) = d_{2}(∞, k) = k^{−1} pour tout k ∈ ℕ^{∗}. L’espace (X, d_{3}) est-il complet ? Indications. On précisera quelles sont les suites convergentes et les suites de Cauchy pour d_{1} et d_{2}. Pour d_{3}, on pourra s’inspirer de l’exercice précédent.

Exercice 3. Montrer que les espaces métriques (E, d) et espaces vectoriels normés (E, N) suivants sont complets. a. E = {n^{2}, n ∈ ℕ}, d(k^{2}, l^{2}) = |k^{2} − l^{2}|. b. E = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2}y ≤ cos(x + y)}, d((x, y), (x′, y′)) = |x − x′| + |y − y′|. c. E = M_{n}(ℂ), N(A) = \sqrt{Tr(^{t}AA)}. d. E = O_{n}(ℝ), d(A, B) = \sqrt{n − Tr(^{t}AB)}. e. E = {(x_{i}) ∈ ℝ^{n} | ∑ x_{i} = 0}, N((x_{i})) = ∑_{i} |x_{i}|. f. E = {f ∈ C([0, 1] , ℝ) | ∫_{0}^{1} f(t)^{2}dt ≤ 1}, d(f, g) = ∥f − g∥_{∞}.

Exercice 4. On fixe une énumération des rationnels : ℚ = {r_{n}, n ∈ ℕ} avec r_{n} ≠ r_{m} pour n ≠ m. On considère X = ℝ \ ℚ et on pose pour tous n ∈ ℕ, x, y ∈ X :

d_{n}(x, y) = ||x − r_{n}|^{−1} − |y − r_{n}|^{−1}|, d′_{n}(x, y) = \frac{d_{n}(x, y)}{1 + d_{n}(x, y)} et

d′(x, y) = |x − y| + ∑_{n=0}^{∞} 2^{−n}d′_{n}(x, y).

a. Vérifier rapidement que d_{n}, d′_{n} sont des pseudo-distances, et que d′ est une distance sur X.

b. Montrer que d′ est topologiquement équivalente à la restriction de la distance usuelle de ℝ.

On cherchera, pour x ∈ X et ϵ > 0 fixé, un réel α > 0 tel que B_{d}(x, α) ⊂ B_{d′}(x, ϵ). c. Soit (x_{k})_{k} ∈ X^{ℕ} une suite de Cauchy relativement à d′.

(i) Montrer que (x_{k}) a une limite x ∈ ℝ relativement à la distance usuelle.

(ii) Montrer que x appartient à X. On pourra considérer la suite (|x_{k} − r_{n}|^{−1})_{k}, pour n fixé. (iii) Montrer que d′(x_{k}, x_{l}) tend vers d′(x_{k}, x) quand l → ∞. (iv) Montrer que (x_{k}) converge vers x relativement à d′.

d. X est-il complet relativement à la distance usuelle ? à la distance d′?

Exercice 5. On considère l’ensemble E = [0, 1]^{ℕ} des suites à valeurs dans [0, 1], considérées comme fonctions de ℕ dans [0, 1]. Pour deux éléments u, v ∈ E on pose

d(u, v) = ∑_{k=0}^{+∞} \frac{|u(k) − v(k)|}{2^{k}} et d_{∞}(u, v) = sup_{k∈ℕ} |u(k) − v(k)|.

a. Quel résultat du cours permettent de montrer que (E, d_{∞}) est complet ?

b. Soit (u_{n})_{n} une suite d’éléments u_{n} ∈ E. On suppose que (u_{n})_{n} est une suite de Cauchy pour d. (i) On fixe k. Montrer que la suite (u_{n}(k))_{n} est une suite de Cauchy dans ℝ. (ii) Montrer qu’il existe un élément v ∈ E tel que lim_{n→∞} u_{n}(k) = v(k) pour tout k. (iii) Montrer que (u_{n})_{n} converge vers v dans (E, d).

c. On a ainsi montré que (E, d) est complet.

Cela reste-t-il vrai si on considère l’ensemble des suites à valeurs dans ]0, 1[ ?

Exercice 6. On considère l’espace vectoriel E = C^{1}([−1, 1] , ℝ), et les normes sur E définies par

N(f) = ∥f∥_{∞}, P (f) = ∥f∥_{∞} + ∥f′∥_{∞},

où on note ∥ · ∥_{∞} la norme de la convergence uniforme.

a. On pose f_{n}(t) = \sqrt{n^{−1} + t^{2}} pour n ∈ ℕ, t ∈ [−1, 1].

(i) Calculer g(t) = lim f_{n}(t) pour tout t ∈ [−1, 1]. (ii) Montrer que (f_{n})_{n} converge uniformément vers g. (iii) L’espace E est-il complet relativement à N ?

On rappelle le résultat suivant : si (f_{n})_{n} ∈ E^{ℕ} est une suite de fonctions de classe C^{1} telle que f_{n}(0) converge et (f′_{n})_{n} converge uniformément vers g, alors (f_{n})_{n} converge uniformément vers une fonction f telle que f′ = g.

b. Montrer que E est complet relativement à P.

Exercice 7. Pour p ∈ [1, +∞[ on note ℓ^{p}(ℕ) l’espace des suites réelles x = (x_{n})_{n∈ℕ} telles que

∥x∥_{p} = ( ∑_{n=0}^{∞} |x_{n}|^{p})^{1/p} < ∞.

On admet que ∥ · ∥_{p} est une norme sur ℓ^{p}(ℕ). Montrer que ℓ^{p}(ℕ), muni de cette norme, est un espace de Banach.

Exercice 8. Soit (X, d) un espace métrique et (x_{n})_{n} ∈ X^{ℕ} une suite dans X. On dit que (x_{n})_{n} vérifie la propriété CG si on a d(x_{n}, x_{n+1}) ≤ 2^{−n} pour tout n.

a. Montrer que si (x_{n})_{n} vérifie CG alors (x_{n})_{n} est une suite de Cauchy.

b. Montrer que si (x_{n})_{n} est de Cauchy, on peut en extraire une suite vérifiant CG.

c. Montrer que si (x_{n})_{n} est une suite de Cauchy et admet une sous-suite convergente, alors elle converge.

d. Montrer que (X, d) est complet si et seulement si toute suite (x_{n})_{n} vérifiant CG est convergente.

e. Application. Soit (E, N) un espace vectoriel normé. Montrer que E est complet si et seulement si toute série absolument convergente dans E est convergente.

Exercice 9. On munit E = ℝ[X] de la norme définie par la formule ∥P ∥ = ∑_{i=0}^{n} |a_{i}|, si P = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i}. a. Montrer que pour tout k, la forme linéaire φ_{k} : P = ∑_{i=0}^{∞} a_{i}X^{i} ↦ a_{k} est continue. b. On note S_{n} les sommes partielles du développement en série entière de l’exponentielle.

Montrer que (S_{n})_{n} est une suite de Cauchy dans E qui ne converge pas dans E. c. Soit (P_{n})_{n} une suite de polynôme telle que deg(P_{n}) ne tend pas vers +∞.

Montrer qu’il existe un entier d et une sous-suite (P_{n_{k}})_{k} telle que deg(P_{n_{k}}) ≤ d pour tout k. d. Soit (P_{n})_{n} une suite de Cauchy dans E qui ne converge pas.

Montrer que deg(P_{n}) tend vers +∞.

Exercice 10. On considère les suites vérifiant la relation de récurrence u_{n+1} = f(u_{n}), avec f(x) = e^{x} − 2.

a. Montrer que f est uniformément strictement contractante sur ]−∞, −ϵ], pour tout ϵ > 0.

En déduire que f admet un unique point fixe l_{−} dans ℝ_{−}. Montrer que l_{−} ≥ −2. b. Montrer que si u_{0} < 0, alors (u_{n})_{n} converge vers l_{−}.

On prend u_{0} = −1. Trouver un entier N tel que |u_{n} − l_{−}| ≤ e^{−100} pour tout n ≥ N. c. Tracer l’allure du graphe de f. Étudier le comportement de la suite (u_{n})_{n} lorsque u_{0} ≥ 0.

Exercice 11. Montrer qu’il existe un unique point (x, y) ∈ ℝ^{2} tel que

\{ \begin{matrix}x = (sin x + 8 cos y)/10 et \\ y = (2 cos x + 7 sin y)/10. \end{matrix}

On pourra montrer qu’une application f : ℝ^{2} → ℝ^{2} bien choisie est uniformément strictement contractante relativement à la norme ∥ · ∥_{∞}. Pouvait-on appliquer la même méthode avec la norme ∥ · ∥_{1} ?

Exercice 12. Montrer qu’il existe un unique point (x, y) ∈ ℝ^{2} tel que

\{ \begin{matrix}x = \frac{1}{2} sin(x + y) et \\ y = \frac{1}{2} cos(x − y). \end{matrix}

On aura besoin de calculer la norme d’opérateur d’une matrice bien choisie, en munissant ℝ^{2} de la norme ∥ · ∥_{2}.

Exercice 13. On considère l’espace E des fonctions continues bornées de ℝ dans ℝ. On fixe g ∈ E et λ ∈ ]0, 1[. a. Montrer qu’il existe une unique fonction f ∈ E telle que

∀x ∈ ℝ f(x) = λf(x + 1) + g(x).

b. Exprimer f(x) en fonction de g et λ, pour tout x ∈ ℝ.

Exercice 14. Soit (X, d) un espace métrique complet et f : X → X une application. On suppose qu’il existe un entier n ∈ ℕ^{∗} tel que f^{n} = f ∘ f ∘ ⋯ ∘ f soit uniformément strictement contractante.

a. Montrer que si x est point fixe de f^{n}, alors f(x) est aussi point fixe de f^{n}. b. En déduire que f admet un point fixe. Montrer que ce point fixe est unique.